常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案.doc

常微分方程与动力系统第二章习题参考答案1.证明：因为是线性齐次系统（LH）的一个基本解矩阵，由定理2.5知在区间J上满足矩阵微分系统,即，所以由确定的线性齐次系统（LH）必唯一。2.证明：因为，分别是和的解，所以，因而所以常数。3.证明：设为系统的一个基本解矩阵，则由定理2.11知是系统的基本解矩阵，由定理2.4知系统满足初始条件的特解为，由题可知与在上有界，从而由定理2.24知和使得,利用常数变易法公式（2.32），可知式的初始条件为的解满足因为所以，利用格朗瓦尔不等式有记设则有从而所以系统的一切解都在上有界。4.解：设以矩阵为基本解矩阵的线性齐次系统为则即得整理得解得所以齐次系统即为所求。5.（1）解：由，分离变量得解得由得，解得故原方程组得通解为（，为不为零的常数）（2）解：由第一个分离变量得解得。由得解得故原方程组得通解为6. (1)解：原方程组化为可化简为由初等积分法得 （）又知初值代入（）得，所以解得（2）解：+得解得（为常数）令则代入得，即两边积分得（为常数），整理得（）代回原变量得 。将初值代入，得得得解7证明：令（为常值向量），那么，。因为是的解，所以由以上两式得，。又因为,所以有，。所以根据解的惟一性定理可知，因而有。令，代入上式得,因而。8.证明：此方程的满足初始条件的初值问题可等价于积分方程对上述方程，应用毕卡逐次逼近法，只需考虑, ，由归纳法易知显然，可得原方程的通解为，其中c为任意的常值列向量。9. (1)解：矩阵A的特征值为3，-2，对应于=3的特征向量满足代数方程组，所以是=3的一个特征向量。同理对应的特征向量为，故（2）A的特征方程为，解之，得特征根为。对应于的特征向量满足代数方程组所以是对应的一个特征向量。同样可得对应的一个特征向量为。由A的特征值的特征向量组成的矩阵，其逆矩阵，所以（3）解：有：从而于是（4）解：有，从而于是10.（1）解：,矩阵A经过初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B有相同的特征值。矩阵B为分块矩阵，设,则可知1为B的一个特征值。下面求的特征值。其特征方程为。则可得。对于矩阵A，存在一个非奇异的矩阵P，使得,所以。故.11. (2)解：先求对应的齐次方程组的通解。特征方程为，特征值为。对应于的特征向量满足代数方程组，所以是对应的一个特征向量。同理可得对应于的特征向量为。所以得齐次方程组的通解为。用常数变易法，令将其代入原方程组，得解之得，积分得得原方程组的一个特解因此原方程组的通解为即（3）解：先求对应的齐次方程组的通解。特征方程为。特征值为。对应于的特征向量满足代数方程组。所以是对应的一个特征向量。此时可得方程组的一个复值解，其实部和虚部就是方程组的两个实值解。且显然它们线性无关。所以得齐次方程组的通解为，其中，是不为零的常数。用常数变易法，令，将其代入原方程组，得解之得：，积分得得原方程组得一个特解为，因此原方程组得通解为，即。（4）解：先求对应的齐次方程组的通解。易知特征方程为特征值为。因此，齐次方程组有形如的解。将其代入非齐次方程组并消去后得比较t的同次幂的系数可得，即。令，则，那么相应的特解为，令，则，那么相应的特解为。因此，齐次方程组的通解为。用常数变易法，令，将其代入原方程组得解之得积分得。得非齐次方程组的一个特解为于是，原方程组的通解为。即12.解：对于方程组，由，分离变量得解得由得，解得故原方程组得通解为（，为不为零的常数），则得系统的一个通解为，则它的基本解矩阵，又，故。C的特征方程。故其特征值为。有得，故，则得该系统的特征乘数，特征指数。13.证明：设是系统（LHP）的一个基本解矩阵，由定理2.19可知，存在一个可微的周期为T的非奇异矩阵函数,以及一个常值矩阵R，使得，设J是矩阵R的约当标准型，则存在非奇异常值矩阵S使得,所以。根据定理2.8，且因为是系统（LHP）的一个基本解矩阵，所以也是系统（LHP）的一个基本解矩阵。记。所以。由该系统有一个特征指数是，则该系统就有形如的解，由是一个常数，故证明了该系统有一个特征指数是的充分必要条件是该系统有形如的解。14.证明：系数矩阵的特征方程为。则可得特征值为。又，求C的特征方程为，故得C的特征值为。故此系统的特征乘数为。15.证明：1）设是系统（LNP）的以T为周期的周期解，则显然必须有。反之，设是(LNP)的解，且.下证是以T为周期的函数。由以及 可得并且，由初值问题（1）的解得存在惟一性知。 2）设是以，为列向量的阶方阵，则用常数变易法可求得(LNP)的任一解为即由1）知是以T为周期的解得充要条件是，因此亦即由下述方程确定其中是阶单位矩阵。此式子能惟一确定的充要条件是即矩阵没有等于1的特征根。16. 解: 作变换，令，则，那么，原方程组变为，其特征方程为，特征值为。相应于的特征向量应满足即，令，则，那么相应于的特解为。相应于的特征向量应满足即，令，则，那么相应于的特解为。所以方程组得通解为代回原变量得方程组得通解为即，（为非零常数）它们的朗斯基行列式为。在时等于0，但当时，这不与定理2.7矛盾，因为在计算过程中，所以在是都不等于零。17.证明： 充分性：由式（2.88）成立，则可知零解是一直稳定的。不失一般性，令，则对有，于是零解是全局指数稳定的。必要性：设系统（LH）的零解对是全局指数稳定的。则由定义1.12知道，有，使得对任何，存在,使得当时，对于一切有于是有即证式（2.88）成立。18.证明：系统的满足初始条件的特解为，由于它的零解是渐进稳定的，由定义1.4可知，对，存在使时对一切有，同时使得当时。利用常数变易法可得系统的解为。对于上述，当时，对一切，从而可知系统的一切在上有界，即它的零解对是稳定的。对于上述当时而由迫敛性知。所以系统的零解对是渐近稳定的。19.证明：系统满足初始条件的特解为。由于该系统的零解是稳定的，由定义1.4知，任取正数（b为常数）存在使得当时，利用常数变易法可得系统的解为，因此，。因为所以记即由此可见系统的一切解在上有界。20.证明：对于系统，令，则原系统可化为，此系统对应的特征方程为，其特征值为，故可得到该系统的零解是稳定的，又由对于线性自治系统来说，稳定与一致稳定是等价的，故系统的零解是一致稳定的。对于系统。令，则原系统可化为，此系统对应的特征方程为，其对应的特征值为，这两个特征值的实部均大于0，所以这个扰动系统的零解是不稳定的。23.证明：对于线性系统，设是一个未受扰解，令则得扰动系统为线性齐