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在线提供: 机构与机械原理39(2004)299-322 机床执行机构逆转运动的研究机床执行机构逆转运动的研究 金大中，郑升吉，桑杰-萨尔玛 麻省理工学院机械工程系,剑桥大学文学硕士 02139,35-010,美国 加州劳伦斯伯克利国家实验室工程部, CA94720，伯克利，美国 本文收到于2002年8月30日，修订后的形式收到于2003年6月16日,最终出版社于 2003年9月17日采纳 摘要摘要 当机床中的运动副反转时，在精度加工表面，机械设计和控制中被忽视了的 非线性问题会明显地反映出来。 例如，机床的摩擦特性在操作速度较低时会造成 高度非线性误差,要求复杂的补偿。为此，我们提出了一个机床的逆转运动学和 逆转自由路径的理论解决办法。我们设想和比较串行，并行，混合机构运动副各 种轨迹和多种模式逆转的特点。逆转特征对机床的设计和路径规划两者都有影 响。 2003 爱思唯尔有限公司 版权所有。 关键词:逆转;摩擦;机床;运动学 1.1.引文引文 当机床中的运动副在运动方向上逆转时,发生的一些异常现象必须受到重视 以使机床能达到较高的精度。 这篇文章论述机床机构学中的反转运动学，主要集 中于逆转、 逆转自由路径的理论和属性。这些影响往往在机构设计的初始阶段被 忽略，我们的目标是为预测逆转的发生提出理论基础。特别是，我们说明了逆转 在加工表面和并行机床直线加工中是明显的， 一般在大多数类型机床的多轴自由 加工中很难避免。 责任作者.电话:+ 1-617-253-1925传真:+ 1-617-253-7549. 电子邮件地址: (奥马.沙尔玛). 0094 - 114 x/$ -见前页2003爱思唯尔有限公司版权所有. 数位物件识别号：10.1016/j.mechmachtheory.2003.09.002 图1.一个典型的运动副中的摩擦特性以及它对精密度的负面影响. （a)摩擦和速度的关系 (b) 象限故障(董建华审稿4). 这些复杂的情况与源自于他们会加剧轴承和驱动机构性能的非线性误差的逆 转这个情况有联系。 一个经典的与逆转相关的例子就是丝杠的间隙。当驱动机构 负载引起轴承的连结点发生瞬时冲击而逆转时间隙就会出现。在实践中,间隙在 精密机构中可以通过防松的预紧力减小。 逆转运动在运动副摩擦的静态和动态之间相互转换时，更基本的非线性误差 被放大。 图1(a) 显示了润滑运动副的摩擦从低速到高速运动转换时典型的状态。 这种摩擦原理从静态效果向更线性粘滞的效应状态变化2。摩擦力的大小由于 节点的零速状况而提升和转变。 为线性粘滞摩擦模型而设计的简单的线性控制策 略,补偿这种影响效果很差,可能会遭遇延误,追踪不符常规和加工精度损失3。 象限故障,见图1(b),都是典型的在在三轴铣床上的循环端铣时因摩擦诱导产生 错误的典型例子4。在这种运行机制下每次发生异常时，通过改进控制器可以 获得更好的追踪精度。然而，实施这些策略需要更先进的控制器，和仔细的参数 识别实验，两者都必然更贵。因此，设计师重点认为它是避免临界运动发生逆转 的最好的办法。 .逆转特性逆转特性 如上所述,这将是一种逆转不会发生的理想机床设计， 在这理想状态下他们不 会伤害机床的性能。对于笛卡儿坐标系的机床,例如, 当机器执行一个单向直线 轨迹运动时，逆转不会发生。这是非常重要的,因为作为一个基准和配合面直线 在设计和制造中起着特殊的和基础的作用。在笛卡儿三轴机中，逆转会发生但仅 发生于运动方向明确可知的情况下，比如加工一圆，见图1.（b）.从逆转的角度 看这构成了 “良好的运动状态” ， 所有的逆转通过一种非常容易描述的方式发生， 并且反转特征与位置无关，配置独立。 不幸的是,并不是所有的机器有这些理想的属性， 并且在并行机器中逆转尤其 很难预测。 并行机在它的工作空间规划一个直线运动以避免遭遇逆转。这种特性 对于并行机的加工应用可能是一个严重的障碍。 串行笛卡尔机床在自由加工时也 会发生逆转。 在加工一个空气动力学临界表面时,例如,一个弯曲的轨迹可能导致 不良的诱导型逆转的带钢单向皱纹。理解这些问题很重要，我们在本文中对一些 问题作了调查：逆转发生的路径，无关逆转路径的性质，不管运动方向逆转发生 是必然的， 区域可达性的反转自由推导等等。我们应对办法主要是基于给定机器 的运动学理论。 本文最大的贡献在于准确地发展对数学机械的描述，逆转及相关 概念。 .背景背景 在机械设计中，间隙问题一直是一个古老的挑战，在机械元素的群体中，已 经受到了大量的注意力。 在机械元件中，一个概念性和技术性的描述是可以供使 用的1。有大量关于摩擦模型的文献资料和一份完整的总结，在5中。凯鲁达 斯.德提出了一个精致的模型，抓住了库伦早期成果中包含的在逆转运动中必须 被考虑的不同影响，达利德7，他表明，粘滑运动并不包含在库仑和粘性模型， 中， 拉宾诺维奇9，他表明, 开始运动一直到出现一个摩擦力存在一个时间差, 达尔8，他进一步整合了滞后效应。然而，即使凯鲁达斯.德的6参数模型也不 能捕获所有摩擦的微妙之处，例如依赖于时间导数作用力的摩擦力。此外,摩擦 参数已被证明是工作区间内高度地变化的,并伴随着时间的推移改变10。 然而， 这个模型构成的许多控制方法的基础在过去的几年里一直被提及到。 该领域的研究人员已经提出了运动控制的一系列补偿方法,以实现摩擦作用 下运动平稳、高精度。不是本文强调的重点，我们只在这里做一个粗略的概述。 综合摘要由11、12提供。根据摩擦的控制系统技术包括：估值和适配法13、 14， 鲁棒补偿方案15, 重复控制4、多回路控制16,非线性补偿(类似于滑 动模态)17,非线性PID(改变增益取决于加工状态)18和一大类脉冲编码调制 技术，均概述于12。 有大量的关于并行机器的文献，以及几十种采用平行结构的铣床。引用于 19。假定并行机器胜过串行机器更的优势是负载可以分布更均匀，因此，可以 通过使用更轻的结构元件和更少更昂贵的执行器来获得一个更高的刚度。 然而我 们将说明,耦合运动学的并行机制会导致在他们的连接副中发生“简单的的”和直 的逆转。 图2我们研究的机器:(一)串行 (b)混合 (c)并行机床 此外,研究表明,一个执行机构的错误会传播到所有的坐标轴19, 当它是重要 的保持平面或平直度时这可能会有争议。此外,有文献表明, 在机床结构中频繁 的执行机构逆转可以激发更高的谐波分量21、22。这增加了并行机器必要的结 构刚度，甚至在某种程度上削弱了并行机构首选的基础。除此之处，之前的研究 似乎很少有涉及串联或并联机床的逆转。 .大纲大纲 对于不同机床机构的反转性能建立一个完全公平的比较并不容易，因为性能 主要依赖于考虑的轨迹和正在执行的加工任务。例如，机床不是被求切削平面， 相反，说，加工球面，一个并行机床的特定配置比笛卡尔系列更自然。不做关于 机床考虑的加工任务的假设，我们将定义一个任务空间的概念,它能够捕捉任何 任务表面的能力, 我们会问在一个典型的路径可以发生多少逆转， 以及使用更少 的逆转可以达到同样的目的。 第2节中,我们设置一个数学框架，它是这篇论文框架的基础。在第3节,我们 回答关于逆转性能和开发方法的分析等最基本的问题。 第4部分中,我们介绍一些 例子与三种类型的机工具:串行,混合和并行机床，如图.2 在第五部分我们得出 结论. 2.2. 结构分析结构分析 在本节中,我们根据这篇论文的基础制作了一个数学框架的。假设我们将调 用一个已知的受限制的逆运动学图纸。这部分简单定义了这个术语,并证明这种 假设的必要性。 描述切削工具的运动， 我们在切削工具的中心线上附上一个基准点。三元组 的笛卡儿坐标的基准点构成我们称为机床的工作空间。 一般来说,一个切割工具, 作为一个刚性的主体,已经6自由度:三个自由度对应转换的基准点和另外三个对 应旋转切削刀具。因为我们正在考虑铣床,因为切割工具可以被认为是轴对称， 第六个运动自由度它与切削工具中心线的自旋有关,通常是不必要的和冗余的。 两个额外的坐标在磨削的过程中足以描述定向五轴机床的。 三个自由度的旋转在 其他应用程序可能是必要的。 我们指的切削刀具的自由度数量限制了我们主观上对于任务空间维度的感知。 任 务空间尺寸与机器参与加工任务的自由度不一定是相同的。 例如,我们可以使用6 轴机器执行五轴加工,附加的一个自由度是冗余。 在三轴加工中,只有切换刀具是 允许的和任务空间维度数是3。在路径规划阶段,尺寸可以引入“任务约束。”进一 步减少。例如，在三轴粗加工中，从原料上一层一层去除材料是非常常见的。 在 这种情况下， 当一一层材料被去掉时， 任务约束是基准点必须保持在一个平面上， 每层加工的任务空间维度是2.使用五轴加工完成了自由表面部分的加工， 刀头与 所需的表面接触，任务空间维度的修整是减少到4。当规划精加工的路径时，设 计表面上切削工具在每一点有没有冲突由一个碰撞检测预处理程序决定， 剩下的 计划任务可以在一个二维空间内执行。在这种情况下,任务空间维度是2。 一般认为机床拥有N个自由度和一个任务维度是M=N的加工方法。刀具的运 动限制条件能够被历史的M元组实数捕获。在这种条件下，我们参考所有的国为 任务表示受限制姿势的M元组。机器中所有的执行器位移的N元组称为驱动空间。 我们假设一个机床的运动学和通过机械条件确定光滑映射 f 从条件的任务 空间到机床执行机构空间引入的约束条件， 我们称为逆运动学的限制映像。 )根据我们的假设任何冗余必须用逐点的方式 （或 者“直线插补法”）解决。我们假设任务空间 U 是单连通的,通过选择它避免了 奇异点。 映像的范围是 N 维运动空间的 M 维子空间。 执行机构的位移量被 认为是机床构形空间局部坐标中的一个变量。该设置足够满足我们的目的，甚至 通过考虑机床位形空间中主动和被动连结位移获得完整的概论。 上述假设的严格 声明超出了我们当前应对办法的范围，更多的条款引用自23，24。在本文中， 我们将说明如何设置前文描述的捕捉大多数机器反转特征的方法。 3.3. 逆转分析逆转分析 在本节中，我们提出几个对于判断机床反转特征非常有用的概念。我们会部 是否能完成没有任何执行机构逆转的点对点的任务或者是否有条件保证自由反 转或确定的可逆路径。我们还会问执行机构逆转运动方向上的点的运动轨迹。 最 后, 我们分析加工表面或者去除表面的逆转特征。 我们在第四节中用了第一节概 念的延伸来比较三种类型的机床。我们大部分的命题可以直观地理解,我们省略 一些证据但在主体文本中解释了他们的原理。 . 逆转情况逆转情况 在本节中,我们将展示各种方式来解读逆转的执行机构。 311 关于追踪任务轨迹的逆转情况 机床的基本功能是能为它自身的效应器追踪给定的轨迹。我们认为在任务空 间内，机床沿一段有规律的轨迹运动。如果对于任何 i 值, 当 t=t0时，局部极值，我们认定点 u(t0)为逆转点。如果沿着轨迹没有 逆转点，我们称该轨迹为自由逆转。 对于执行机构在有规律的的轨迹上在逆转，下面的公式有重要的意 义： 这种情况暗含了在任务区域内沿有规律的轨迹找到逆转点的一种简单方法。 沿给定轨迹绘制和计算逆转点是一种显现和比较机床逆转特征的方式。 312 逆转奇数点和强逆转奇数点 在工作区间U中的点处，如果有一个整数使得 我们约定点u作为执行机构的逆转奇数点遵守，fk是逆转运动学f的最佳元素点， 如果逆转运动学f的最佳元素点的赫斯矩阵 定义在点： 处，则执行机构的逆转奇数点为强。如果相应的赫斯矩阵为奇数，则 逆转奇数点会退化。 退化的逆转奇数点是非常少见的，因为运动学参数的轻微扰 动能消除它们。 在强的执行机构的逆转奇数点，执行机构的位移fk是局部极大值或者极小值。 因此，执行机构在强的逆转奇数点，它的运动方向会发生逆转，为此引出了下面 的命题： 命题命题1 1：当机床的基准点经过强的执行机构逆转基准点时，执行机构的逆转不可 避免。 准基准点（为了起强调作用，我们认定其为非强基准点）也暗含了逆转的高 几率。 因为经过逆转奇数点的轨迹必须满足构成自由逆转运动的特殊情况。对于 2维任务空间， 这尤其容易被理解。如果执行机构在2维任务空间的非退化逆转奇 数点为强，则其逆转运动学的元素fk在逆转运动点有一个承载点。这暗含： 命题命题2 2：在非退化，2维任务空间的非强逆转奇数点，如果它是自由逆转，那么一 个规则轨迹必须与fk的功能分界线之一正切。 通过摩尔斯辅助定理，这个实验很容易被建立。上文规定的条件是一个相当 特殊且很难满足的条件，特别是在切除任务中，这个我们将在 3.3 节中讨论。 因 为它的出现不会依赖我们已经选择的特殊轨迹， 逆转奇数点是一个比较权威的方 式来显现机床的逆转特征。 313任务空间的正切空间的自由逆转方向 在轨迹的正切向量上，我们能够指定一个逆转条件。在这一节，我们也能定 义会用到的相关关系。 如果切削刀具移动的轨迹服所给的任务约束， 执行机构的速率 和速率 在任 务空间中具有以下的关系： 上式中C是受限制的逆转运动学f的雅可比行列式矩阵。M元组 是任务空间正切 空间的元素之一。正切空间在点被表示。正切空间是被认定为正切束和TU。 任务空间的每一个点在每一个瞬态，每个执行机构有两个选择，或者增加或 者减少位移。换言之，或者或者。特殊的，如果一个轨迹是自由逆转， 在它的整个步进运动区间，除了 =0，两个不等式仅有一个成立。换言之，每个 执行机构沿着自由逆转轨迹的位移必须单调的。 所有执行机构的二进制置换都可 以用二进制系统符号i和d作为基本数字来编码，这个符号代表了词语“增加” 和 “减少”。例中，在5轴机床中，如果第一个和最后一个执行机构位移是增加， 其它的位移是减小，我们用idddi来表示这种情况，作为执行机构的一个排列， 执行机构可能的排列数量是2 N ，N是执行机构的数量。 相反的，执行机构在相切空间的给定点的排列P的N次不等式。每个不 同，由于图（1）所给予的线性关系，或者，都被认为是正切空间的半 空间。 这样的半空间交叉在正切空间形成了一种简单的连结圆锥体。我们认定结 果圆锥体为自由逆转圆锥体的给定点，作为 的标志。如果，我们认为 是可以避免的，如果在正切空间 是一系列测量原点， 是退化的。如果圆锥 体是可以避免消除的，因为是一系列测量原点并且它是可以退化的。 根据逆转自由圆锥体是否可以消除，整体任务空间可以分割成两个区间。控 制非退化自由逆转圆锥体的任务间点集合是单调集合，标志性的，作为M P。不能 避免的自由逆转圆锥体中的点集合被认为是扩展单调区，标志性的，作为 ，必 须是单调区间M P的一个超集。在实际情况中， 和MP是“几乎一样的”，这意味 着 M P测量原点的一个区间。 在2维相切空间， 自由逆转圆锥体被从相切空间照射出来的两条线分界；一条 是右补偿，另一条被称为左补偿，就是“右”和“左”的选择，实际上是实际中 不存在的。 通过规范单调区间中的右补偿和左补偿成为单元向量，我们能在单调 区间内塑造相应的单元向量域。他们被分别认定为右和左向量域；标志性的有 和执行机构排列P的补充排列通过不等式的一致性逆转标志和-P被定义为已 生成的排列。例如，如果P=idddl，然后-P=diiid.图3说时了在一个点自由逆转 圆锥体的例子。 命题命题3 3：我们规定下面的直接推论： （1） 如果轨迹是自由逆转，为了执行机构的排列，它的速率矢量 位于自由逆转圆锥体内。换言之，应该有一个执行机构排列P以致于对于 自由逆转运动对应的所有的时间段内。 图.3.使用3坐标机床，自由逆转圆锥体内精加工抛物线表面和 。在案例中，逆转运动学映射f是简单的： 相应的的雅可比行列式是，在的简化形式是。正式 地，。(a)自由逆转圆锥体和它的余量(b)点上 的自由逆转圆锥体单元包含点上全部的正切空间。 （2） 在点，和在 中轴对称。特殊的，； 和是退化的。 （3） 在点换言之，点的切线空间被点的自由逆转圆锥体覆盖或者 平铺。 （4） 在扩展单调区间 的边境点 u 上，除了一些特殊独立点，即逆转奇数点， 相应的逆转圆锥体是退化的。 （5）除了逆转奇数点，每一个 M P元素在矢量域 和左矢量域 都是连续的。矢 量域是连续的，在点属于圆锥体的值，是一个连续 的关于变化范围在区间0，1 R 的 U 的函数。 （6）和 命题命题 3 3（1 1）是在自由逆转圆锥体中对自由逆转条件的概括。如果轨迹是自由逆 转，在它的整个步进运动期间，执行机构速度的标志是确定的，暗含了满足确定 条件执行机构排列的存在。换言之，如果轨迹的相切矢量是瞬态圆锥体，如果它 后来运动到不同的圆锥体，假设圆锥体在转换期间，至少一个执行机构改 变它的标志速度。命题 3（2）保留因为对于任何，暗含。在图 3（b）中给予了解释。命题 3（3）是前面阐述了的简单情况的概括：在任务空 间任意瞬态的每个点， 每个执行机构都有两个选择， 或者增加或者减少它的位移， 即或者或者，没有其他的情况。除了它的规则在逆转奇数点外，对于每 个 K 的倾斜度 fK 的连续体，命题 3（4）和（5）是连续的。通过我们回想起 fk 是平滑的，扩展单调区间的圆锥体“消失”。直观地说，自由逆转圆锥体不能突 然出现或者消失。命题 3（6）与命题 3（2）的反面对称，特殊地 的陈述是退 化的。通过图 3 说明的例子很容易被理解。 32点到点任务的逆转 在任务空间给定的两个结束点，一个点到点任务寻找发现一条满足某些必然 条件的两个连结结束点点轨迹。我们能在执行空间做下面的一般陈述： 命题命题 4.4.对于在执行空间的两个给定点，连结两个点的直线部分是自由逆转路径。 特殊的，如果执行空间是凸面的，没有逆转，在执行空间中的任何两个点能被连 结。 这个领会非常明显，因为在执行空间内任何直线都代表执行机构坐标的一个 单调变化。 然而，在任务空间，自由逆转路径的任何疑问都是不重要的。我们现在阐述 这个问题。对于任务空间，我们普遍保证的至多是一个消极的声明： 命题命题 5 5：任务空间中任何周期性的路径都必须有逆转点。 这并没有回答我最初的问题： 任务空间中， 没有任何逆转， 一对给定点 （u0,u1） 能否通过任务空间中的轨迹连结在一起。 为了解决这个问题，我们构建可获得 的从一个给点 u0 没有逆转的点的集合。结果集合被认为是（自由逆转）可获得 性点集合 u0 和标志性 Fu0。如果另外一个点属于自由逆转可获得性集合 Fu0， 我 们能得出点 u0 和 u1 能以自由方式连结。下面的命题也一样有用： 命题命题 6 6：如果自由逆转的轨迹可以连结两个点，那么两个点都属于这个扩展单调 区间 通过自由逆转运动的向量条件命题很容易被建立，命题 3（1）。 绘图自由逆转的可行性设置也是机床逆转特征可视化的一个好的方式. 在一 个高维任务空间,找到一个点的自由逆转的可达性集合是全新的的课题。然而， 这个问题在一个二维任务空间可以用一种摸索的方式进行有效地处理。下面， 我 们将指出在一个二维的任务空间，我们如何显现一个给定点的自由逆转的 可达性合集合。 从沿着轨迹的点细想点的集合是可以实现的，而且轨迹的速率 保持于沿着轨迹的自由逆转锥体中。 结果的集合被认为是点 u0 的可达性 的分枝，如。 命题 7.以下可达性分枝的属性的直接描述： （1） 可达性分枝是连接路径。 （2） （3）暗含和 （4） 命题命题 7 7（1 1）如下直接地从给定点 u0 的存在到可达性逆转点的自由逆转运动。命 题 7（2）是命题 6 扼要重述。命题 7（3）陈述了两条连续的自由逆转轨迹，它 能够被结合成为一条单一的自由逆转轨迹。命题 7（4）陈述了点的自由逆转的 可达性能够被作为它分枝的集合简单地构造起来，它与命题 3（1）和（3）最接 近。 所以，发现可达性的集合的问题就被简化为了给定点可达性分枝，在二维任 务空间 U 中，我们需要说明怎么样获得点 u0 的分枝。我们现在来分析这个简 化方面的问题。如果起始点 u0 不属于扩展单调区间，即，我们就简单 终止这个过程，因为和是集合的连结路径。从此以后，我们仅考虑 这一种情况。 下面是发现可达性分枝过程的描述。我们将起点 u0 的适量域一体化。积分线 我们用 LR来表示，与点 r 的扩展单调区间的边界相遇。用相同的方式，我们定 义左适量域的积分线和扩展单调区间间的交叉点 l.这个被在表 4 （a）中有解释。 我们将通过连结两个结束点构建可达性的分枝。 命题命题 8 8（1 1）如果 r 和 l 不逆转奇异点，锥 r 和锥 l 是退化的,因为他们在扩展单 调区间的边界上。（2）相应锥和的方向分别与积分线 LR和 LL平行。（3） 该方向一定指向扩展单调区间之外。 第一部分是命题 3(4) 的一个特殊情况。由于在 r 和 l 自由逆转锥是退化的 和非空集，积分线一定与退化的方向相切，从而证明了第二部分。如果 r 和 l 和退化方向指向扩展单调区间内部，则左右积分线都能延伸到点 r 和 l，这就证 明了第三部分。 现在我们回到我们的可达性分枝的构建。我们沿着扩展单调区间的边界从点 r 到左适量域行进。行进过程中，我们观察沿着边界的退化锥。在开始阶段，锥 与扩展单调区间的外面对齐。 在行进的一些瞬间，有一次机会边界上的锥的方向 是朝向扩展单调区域内部见图 4(b)。如果是这样，在这一点上我们将沿右适量 域积分线行进，如图 4（c）所示。这被称为行进的一个过渡。瞬态积分线相交 于单调区间的边界处。如果行进期间，一个置曲线的交点不出现，我们继续沿着 扩展单调区间的边界行进。 行进一直会持续直到我们到达点 L 或者它形成一个置 图 4 构建可达性分枝（a）沿左右适量域的集合（b）沿边界线行进（c）沿右适量域行进 曲线自交点。 如果一条置曲线已经形成，我们标记点 r 到 l 作为一个失败和执行 相同的使用左积分瞬态曲线的过程。如果两个试验失败,我们求助于一个非常强 力过程:我们从起始点各种各样的值求适量域的积分。适量 域的积分线是关于自由逆转命题 3（5）必要条件。这种摸索性 的行进在大多数情况下是行之有效的和收敛的。然而，自由奇点或者洞的存在阻 碍了行进过程的普遍性，它是通过一种蛮力过程作为支撑。 我们可以证明，上面的摸索性的行进过程发现正确的可达性分枝很特殊但是 也是一种普遍情况。 命题命题9 9假设点r和l,这是终点的前两个积分线在行进的过程,是在最外边界环的组 件的起点和u0所属的扩展单调的区域。B区域被两条积分线分隔开，LL和LR，一 起分割连接两个点r和l， 从r到l顺时针方向的扩展单调区间(见表4)。如果区域B 既不包含孔也不包含逆转奇数点，如果行进的过程非常地成功，通过行进的过程 集合的构建就是正确的可达性分枝。 在附录一给出了证明。 这个命题可以用来检查通过行进过程构建的集合的有 效性。一般情况下对于孤立的逆转奇异点在区域B的边界上但并不在区域内的情 况是有可能的。 如果从r到l的行进成功，我们会检查构建集合时逆转奇数点的左 射线是否指向区域B之外。对于从l到r的行进，我们检查右射线。如果没有变化 的发生,我们检查逆转奇数点的自由逆转锥的任何部分是否是指向区域之外。一 但命题9被理解了， 命题9的扩展的证明是非常容易实现的。设计一个行进算法处 理区域B的中间区域的逆转奇异点是一个悬而未决的问题。 3.3. 表面加工的逆转 精加工的目标是加工一个二维流形。 如果我们假设的切割工具的方向是预先 确定的,则对于精加工过程，任务空间尺寸是 2。我们能捕获任务空间的适量域 的加工路径家族。 在这种背景下，我们认为任务空间轨迹只有从给定向量域的流 线中选择。 如果矢量域的每个简化形式是自由反转轨迹，矢量域就被认为是自由 反转。 机床的工作区间表面能够用参数的形式 r(u,v)来指定，r 是表面 uv 参数空 间的常规映射，我们通常认为是二维任务空间 U，到三维笛卡尔工作空间 W。我 们需要的刀具的刀尖部分受加工表面和预选设定好的方向的限制。实施这些限 制，我们可以从加工表面的 uv 参数空间到驱动空间构建一个映射，在22中我 们可以发现更加严谨的处理模型。 在任务空间中的一个向量场能抓住一个流线家族， 可以用一个连续映射来指 定。 现在，在任务空间 U 中给定一个矢量域，任务空间中的执行 机构的逆转的候选点可以通过求解以下方程来确定： 在任务空间这就定义了曲线，Cij是众所周知的反转运动的雅可比行列式矩阵。 我们称这些矢量域的逆转线也是机床逆转行为的形象化工具。 在更高的维度任务 空间,方程定义了一个超级表面。 命题 1 和 2 解释逆转奇点意义重复进行的任务。 命题命题 1010 当我们加工一个表面时，无论给加工表面分配什么样的适量区域，一量 在任务空间中出现一个强的逆转奇异点，执行机构的逆转就无法避免。如果一个 加工矢量域的流线型经过一个非强烈逆转奇数点，同时执行机构没有任何的反 转，流线一定与函数的一条分界线相切；这是一种非常特殊的条件，并且 很少令人满意。 因此,一旦一个逆转奇异点出现在任务空间，相应的执行机构总是在逆转奇 异点反转； 绘制逆转奇异点是呈现加工反转特征的一个标准方法，因为它并不取 决于我们们选择的向量场。 现在我们陈述一个相反的命题： 命题命题 1111 如果在任务空间中没有逆转奇异点并且单调区间 MP 包含任务空间，我 们就能用下面的矢量域在没有任何反转的情况下拂掠任务空间： 这在命题 3 中有被提到。 这是因为矢量域中的矢量就像命题 3 中提到的那样，保持在自由逆转的圆锥中。 这个问题的扩展是用扩展区域的最小值来弥补任务空间，当我们离散化空间时， 本质上是限制最小值集的弥补问题。 3.4 冗余的评价 对于冗余机械，至少概念上我们可以用类似的方式得到自由逆转的可达性集 合。在这里，我们用一个例子来解释原因，因为冗余是一个主观的概念，它的环 境非常重要。通常会考虑用表 2（c）所展示的 6 轴机床加工参数化表面插线， r(u,v)。 就像前面一样，我们假设切割工具的方向在表面上的每个点是预先确定 的。我们把表面的 uv 参数空间0，1 2作为任务空间 U。当我们在任务空间中选 择一个点（u,v)时，这个设置存在 5 个自由度，三个是平移另外两个是切割工具 的方向。 在前面的讨论中，我们假设了额外的自由度旋转的工具的旋转轴线 是预先确定的。现在，我们让机器的移动平台自由旋转。用 表示旋转角度 是非常恰当的定义， 并且选自于一个集合，我们将考查三元组形成的空间， （u,v,） ,作为扩展任务空间和标志性的作为机床的逆转运动学从扩展 任务空间到驱动空间被限制为一个映射。一个平滑的映射 r:UL 可以被认为是一个冗余分解器。映射，过去被称为 限制运动学。 我们定义自由逆的可达性集， 称为， 扩展任务空间中使用映射的起 始点（u0,v0,）就像扩展任务空间是前面定义的任务空间一样。我们为所有 可能的旋转角构建，s，并参考他们的并集.自由逆转的可达性 集， 称为有一个自由参数的任务空间 U 是到 uv 扩展任务空间 V 中的 uv 任务空间的简单投射。实际上，这能被用于冗余运动学下的点的自 由逆转的可达性集的定义。 其中，和。这个定义暗示了一种构建自由逆转可达性集的方式， 甚至它对于高维空间太浪费了。总结的， 命题命题 12.12.自由逆转的可达性集，先前用 Fu 表示，一个受限制的逆转运动 fr在冗 余运动下一定包含于自由逆转的可达性集合之中，即。 证据直接来自于定义。如果任务空间 U 中的路径在受限制的逆转 运动 fr下是自由逆转运动，在扩展任务空间 V 中路径在冗余运动学 中是自由逆转运动。路径上的终止点一定在映射在通过定义包含在 中的中。 因此，通过选择一个“好的”冗余分解器而不是以任意的方式选择它，可能 在一个广泛的区域内避免执行机构逆转。然而，它还应该提到使用冗余机床会增 加基本的容易逆转这种情况， 相比较于由于增加执行机构数量而产生的非冗余机 床。 甚至在这个例子中，我们必须在三维空间中构建自由逆转的可达性集 合， 这需要大量的计算和拓扑复合体。 构建的一种有效方式的研究是我们未 来工作的递延资产。 4 4 三种机床的可视化三种机床的可视化 多种概念是为增强我们对机床自由逆转特征的理解在前面部分可视化的演 化。在这一部分中，我们将列举表 1 中的三种机床中的自由逆转奇异点，自由逆 转线和可达性集合，我们深信它有助于帮助设计的高水平决定和机床的使用。 此 外，我们解释前面部分用细节例子推演的概念。 4.1.机床和加工表面 图 5（a）列举的三种机床的“骨架”是串行的，混全的，并行的。执行机构 在相同的图中都有编号。我们考查两个平面，包括贝塞尔曲线张量积补丁;一个 是平面，另一个是弯曲的表面，如图 5（b）所示。表面的实际大小比例是针对 于各自的机床以便于表面能适应设计的工作空间。对于串行机床，表面是关于 x 轴旋转是以避免奇点的垂直姿势。只要逆转运动学是可以计算的，平坦的表面被 调整到一个相对较大的尺寸,这样可以全方位地观察。我们将考虑指定工具方向 的两个正常的表面和垂直的表面尽管表 5 列举了正常用的表面任务。 通常我们认 为精加工过和的任务空间是二维的。逆转运动学被以一个映射给定， 图5 机床和加工表面（a）三种机床表面的骨架（b）切削表面,N是执行机构的数量，u和v 是定义表面的参数。对于并行机床，冗余是用一种方式解决的，这种方式是如图5（）所示， 使固定在移动平台上的直线ab与xz平面平行。 4.2. 逆转奇异点 逆转奇异点能通过同时求和计算值求得。在图 6 （a）中我们说明了一个典型的案例;在列举的任务空间中，我们展示了直线 ，直线和当我们用表面的常规定向加工切削表时的机床逆 转运动学的第四个部分的水平线。三个逆转奇异点中的一个逆转奇异点为强， 见 图.6(a).通过对其他执行机构进行重复相同的过程，我们在在任务空间中共有 30 个逆转奇异点， 如图 6(a).所示。图 7 显示了我们正在考虑的切削表面的逆转 奇异点分布。 有一个很普遍的趋势，那就是逆转奇点的增加是由于并联机构的机 械处理和表面切削的影响。特别是，在常规表面加工中，定位的“波动”主要有 助于逆转奇异点数量的增加。 4.3 沿指定轨迹的逆转点。 在图8中，我们展示了沿指定轨迹的逆转点的数量。主循环和图8的类似曲线 在工作空间中的表面上可以追踪到。 可以看出并行机床比混合机床存在更多的逆 转点。更多的逆转点发现于“图8”曲线，而不是循环曲线。对于平面，混合机 床存在一个与这个系列机床很相似的一种逆转模式。 图7和图8之间的比较说明逆 转奇异点的数量的增加与逆转点数量的增加有关。 图6 逆转奇异点的发现 （a）在uv任务空间或者参数化空间中4轴连动机床表面常规定向的 逆转奇异点 （b）所有逆转奇异点的分布 图 7 逆转奇异点的分布 4.4. 加工任务的逆转线 图 9 展示的是在这个加工任务的例子中我们考虑的向量场的简化。有关执行 机构的逆转线可以用方程（2）定义。在图 9（b）中，我们展示了在 uv 参数空 间中与并行机床第一执行机构有关的逆转线，在图中用粗体线表示；圆形标记放 两轴同时反转三轴同时反转一般的工作空间 图 8 沿给定轨迹上的逆转点的数量 图 9 矢量域逆转线的发现（a）适量域的流线（b）uv 参数空间执行机构的逆转线(c)表面上 所有的逆转线 置于逆转奇异点，虚线是逆转运动学中的每一元素的水平线。这是可以 看出的， 经过逆转奇异点和水平线的逆转线是与逆转线每一点的流线相切。对于 其他执行机构通过求解同一个方程，我们能设想一套完整的加工任务逆转线， 如 图 9（c）所示。 在图 10 中， 我们展示了逆转线的各种情况；逆转线很好的表示了机床逆转行 为的复杂性。 像我们之前的比较一样，我们可以看到更多全并行逆转机床逆转线 的复杂模式。然而，在表面常规的切削面加工中，这一缺点还不是很清楚；在这 种情况下，三种机床都逆转相当复杂的模式。正如命题 5 暗示的那样，对于执行 机构逆转，环形陈列加工路径比大部分的平行路径更容易。 图 10各种情况下的逆转线 在图 10 中，我们很少发现逆转加工表面成功的案例。他们能通过命题 11 被 解释。例如，我们认为并行机床的自由逆转加，是由水平加工路径构成，如图 10 的右下角所示。图 11 展示了并行机床的单调区间中样本点的数量以及其中的 相应的自由逆转锥。 我们发现了自由逆转锥的显示框的单调区间的所有水平线切 线向量，如图 11 所示。因此，我们可以在没有发生逆转的情况下加工显示框中 的单调区间。 如果工作空间如同单调区域中的显示框的集合那样，如图 11 所示， 水平线能在没有逆转的情况下横穿工作空间。 4.5.自由反转的可达性集 我们考虑使用连轴机床进行表面的常规切削加工，如图 5（a）所示。在图 12 （a）中，我们列举了单调区间中的自由逆转锥和其中心相应的可达性分枝，由 相应的加工过程构成。 重复相同的其他执行机构的排列，我们可以构建他们集合 的可达性集，如命题 7 所陈述的那样，见图 12（b）。每一个分枝都被注明在图 中。相应的可达性集合被展示于 12（c）中。特别适合使用并行加工工具加工平 面的表面， 我们可以一只尺子和一个圆规构建机床的自由逆转的可达性，见于图 13。 图 11 自由逆转加工 图 12 可达性集合的发现（a）在扩展单调区间和相应可达性分枝中的自由逆转锥（b）可达 性分枝集合的构成如同参数空间中可达性分枝的集合（c）任务空间中的可达性集合 我们制作了图 14 中全部三种机床的可达性集合的表格。 可以知道垂直的或者 固定方向比表面常规方向会产生更宽的可达性集合。使用连轴机床，我们能达到 如同使用没有逆转的串行机床几科一样的宽度。另一方面，可以看出并行机床可 以到达工作区内更小的区域。 图 13 仅使用一只尺子和一个圆规构建并行机床可达性集合 图 14 自由逆转的可达性集合 5.5.结论结论 在本文中， 我们调查了机床运动副相对运动的逆转。我们更新了相关的概念， 它们分别是：逆转奇异点，沿指定轨迹的逆转点，自由逆转锥，切削任务的逆转 线和自由逆转可达性集全。 然而，我们使他们对各种机床各种定向模式和表面形 象化。此外，我们简要讨论了可视化的算法和相关性能的开发理念。 我们得出结论， 增加运动副逆转逆转灵敏度的因素在于运动副同时运动的 “曲 率”，刀具定向的模式和表面的曲率以及轨迹。在很大程度上，相比于串行和连 轴机床，并行机床拥有较弱的自逆能力，特别是对于简单的表面例如，平面 几何形状。对于“复杂的”情况例如，如果所有的轴都同时沿着切削表面移动 所有的三台机床都显示了很高的联合逆转灵敏度，优点和缺点还不是很清楚。 我们对于未来研究的几个主题很感兴趣，其中包括：（1）考虑驱动动副的扩 展工作，（2）发现刀具的定向以便自由逆转加工路径存在的情况下能被注意到 这个问题，（3）逆转特征与必要的执行机构加速或者转矩之间的关系，（4） 逆 转引起的不良影响大小的量化，（5）应用我们的成果于特定机床的设计之上， 使刀具的路径规划更精确，以及选择最适合某个特定加工任务的机床。 鸣谢鸣谢 我们感谢美国宇航局和美国国家科学基金会提供资金，合同# DMI9912558. 附录附录 A A 命题命题 9 9 的证明的证明我们将证明命题仅对于 r 到 l 的行进这个种情况成立。另一个 情况可以用相同的方式证明。 除此之外，我们在行进过程中少于两种转换发生时 会考虑这种情况。证明不止是一个转换源自于一个转换案例。 令 C 为通过加工过程的构建区域。 案例一：案例一：没有转换的发生。一种典型的案例，见于图 15（a）.(*)因为行进 过程成立，没有转换发生，退化锥一定指向构建锥区域 C 之外。取任一一点 u. 从点 u,我们使“逆转”左矢量区域成为一个整体，直到流线与区域 C 的边界相 交。一个典型的逆转左矢量域见于图 15（b）.流线只有通过右边的初始积分线 LR 才能退出区域 C， 因为矢量域与 L 正切，我们仅有沿着其余边界部分的交集由 于(*)和区域中没有奇数点。令 u1 为退出点。因为 u1 在初始右积分线上，u1 在 图 15 命题 9 的证明（a）案例一：没有过渡（b）逆转左矢量域（c）案例二：一个过渡 没有逆转的情况下是可以从 u0 中求得的。在另一方面，没有逆转沿着构造线 u 是可以从 u1 是求得的。 因此我们用源自 u0 的自由逆转方式证明 C 中的任何点都 是可求的。换言之，C 是可达性分枝的子集。 现在，我们证明 C 是分枝的一个子集。对于任何自由逆轨迹 L，退出区域 C 起始于点 u0，退出点仅被允许位于扩展单调区域的边界上，因为在初始积分线 上的自由逆转锥是指向区域 C 之内的。 任何开放性的退出点的领域都包含一个任 何有有规律的位于扩展单调区域之处的轨迹延长线上的点， 因为退出点位于扩展 单调区域的边界上。因此，轨迹 L 不能以逆转的方式扩展越过退出