工程力学第19讲弯曲变形：积分法.ppt

单辉祖:工程力学,1,第 12 章 弯曲变形, 弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计,本章主要研究：,单辉祖:工程力学,2,1 引言 2 梁变形基本方程 3 计算梁位移的积分法 4 计算梁位移的叠加法 5 简单静不定梁 6 梁的刚度条件与合理设计,单辉祖:工程力学,3,1 引 言, 弯曲变形及其特点 挠度与转角,单辉祖:工程力学,4, 弯曲变形及其特点, 挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计, 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交, 变弯后的梁轴，称为挠曲轴, 研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静 不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础,单辉祖:工程力学,5, 挠度与转角,转角,挠度,挠度与转角的关系,（小变形）,挠度横截面形心在垂直于梁轴方向的位移,挠曲轴方程,转角横截面的角位移,转角方程,（忽略剪力影响）,（rad）,单辉祖:工程力学,6,2 梁变形基本方程, 挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程,单辉祖:工程力学,7, 挠曲轴微分方程,（纯弯）,（推广到非纯弯）, w弯矩引起的挠度 smax sp,挠曲轴微分方程,单辉祖:工程力学,8, 挠曲轴近似微分方程,小变形时：,挠曲轴近似微分方程, 小变形, 坐标轴 w 向上,应用条件：,坐标轴 w 向下时：,单辉祖:工程力学,9,3 计算梁位移的积分法, 挠曲轴微分方程与边界条件 积分法求梁位移 挠曲轴的绘制 例题,计算梁变形的方法: 积分法、初参数法、虚梁法、图解法、叠加法、差分法、奇异函数法、面积一力矩法、迈克勒法、逐次面积矩法、拉普拉斯变换法、三角级数法、能量法及虚位移法、导线法、剪力面矩法、常数相等法、焦点法、近似计算法、面积向量法、马克劳林级数法、定积分法、位移置换法等等。 能量法又细分为几种方法，即卡氏定理、单位载荷法、图形互乘法等等。,单辉祖:工程力学,11, 挠曲轴微分方程与边界条件,约束处位移应满足的条件,梁段交接处位移应满足的条件,位移边界条件,位移连续条件,利用位移边界条件与连续条件确定积分常数,积分法求弯曲变形的解题步骤,写出弯矩方程 先求约束力 然后分段 建立坐标轴 写弯矩方程 确定边界条件和连续条件 弯矩方程积分两次并确定常数项 写出挠度方程和转角方程。 按题意指示。,单辉祖:工程力学,13, 积分法求梁位移,qA =? EI = 常数, 建立挠曲轴近似微分方程并积分, 利用边界条件确定积分常数,由条件 (1), (2) 与式 (b) ，得, 计算转角,（）,例 3-1,单辉祖:工程力学,14, 例 题,例 3-2 用积分法求梁的最大挠度，EI 为常数,解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分,AC段,CB段,单辉祖:工程力学,15,3. 最大挠度分析,（）,当 a b 时,位移边界条件：,位移连续条件：,2. 确定积分常数,发生在AC段,单辉祖:工程力学,16,例 3-3 建立挠曲轴 微分方程，写出边界条件，EI 为常数,解：1. 建立挠曲轴近似微分方程,AB段:,CB段:,2. 边界条件与连续条件,位移边界条件：,位移连续条件：,例 3-4 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角和最大挠度,例 3-5 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB 段：,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,5）确定转角方程和挠度方程,AC 段：,CB 段：,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,例 3-6 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,解：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角