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第四节 全微分,方向导数,梯度,我们以二元函数为主, 进行讲解, 所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中.,一. 全微分,回忆一元函数的微分,回忆一元微分的几何意义,一元: 用切线上的增量近似曲线上的增量.,多元: 用切平面上的增量近似曲面上的增量.,二元函数全微分的定义,时, 若函数在点 X0 处的全增量可,则称函数在点 X0 处可微,称为函数在点 X0 处的全微分, 其中, a , b 是与DX,表示为,全微分概念的极限形式,其中,每一点均可微, 则称函数在区域 ,上可微 .,函数在区域上的可微性,可微,连续,可导,?,?,?,在多元函数中, 三者的关系如何？,可微与连续的关系 (可微的必要条件),可微与连续的关系 (可微的必要条件),可微,连续,可导,?,可微与可导的关系 (可微的必要条件),定理,可微与可导的关系 (可微的必要条件),定理,证,若函数可微, 则,即,同理, 取,可微,连续,可导,可微,连续,可导,函数,在点(0, 0)处连续, 且有有界的偏导数, 但不可微.,该例留给学生课后研讨,参考书：高等数学中的反例 朱 勇等编 华中工学院出版社 1986年 p 120130,逆命题?,可 微,连续,可导,连 续,可 导,连续可导,Ok,定理,f ( X ) 在点 X0 处可微.,二元函数可微的充分条件,证,要证明函数 f ( X ) 在点 X0 处可微, 即要证,利用微分中值定理,由偏导数的连续性,故,同理,从而, 函数的全增量,又由夹逼定理,这一步是怎 么得来的 ？,故,即函数 f ( X ) 在点 X0 处可微.,当不强调区域时, 记为,全,微,分,的,计,算,全,微,分,的,计,算,解,将 y, z 看成常数:,将 x , z 看成常数:,将 x , y 看成常数:,故,若可微, 求其全微分.,解,例4. 求 u = xyz 的全微分.,解:,故 du = yzxyz1 dx + zxyz lnxdy + yxyz lnxdy,= xyz1 (yzdx + xzlnxdy + xylnxdy),回头看全微分公式,这与物理中的叠加原理相符.,三. 方向导数,回忆一元函数的单侧导数:,A,B,C,x,O,y,z,.,P0,P,l,.,利用点函数推广到,方向导数的定义,l 方向的方向导数. 记为,比较方向导数与偏导数的概念,在方向导数中, 分母,利用直线方程可将方向导数的定义表示为:,射线 l 的方程:,则,故,怎么计算方向导数？,方向导数导计算公式,的方向导数存在, 且,定理,解,向导数值都等于 1:,的两个偏导数均不存在, 但它在该点,沿任何方向的方向导数均存在, 且方,此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是必要条件.,只与函数在点 X0 处的偏导数有关.,1,一个问题：,且,四. 梯度,定义,设
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