向量代数与空间解析几何(20).ppt

第九章 向量代数与空间解析几何,第一节 空间直角坐标系与向量的概念 第二节 向量的点积和叉积 第三节 平面与直线 第四节 曲面与空间曲线,第一节 空间直角坐标系与向量的概念,一、空间直角坐标系 1.建立空间直角坐标系 在空间中过定点 作三条互相垂直且有相同长度单位的数 轴 、 和 ，分别称为 轴、 轴和 轴， 也称为横轴、纵轴和竖轴，统称为坐标轴。习 惯上，把 轴、 轴放置在水平面上，它们的 正方向按右手螺旋法则确定（如图8-1）， 点为 坐标原点。这样就构成了空间直角坐标系。 任意两个坐标轴确定一个平面，称为坐标面，它们是 、 和 坐标面，三个坐标面把空间分成八个部分，,每一部分称为一个卦限，共有八个卦限，其顺序如图8-2所示。 2.空间直角坐标系中点的坐标 我们来建立点与有序数组的对应关系。 设 为空间的任意一点，过点 作垂直于 坐标面的直线，其垂足为 ，过 分 别作与 轴、 轴垂直且相交的直线，过 作与 轴垂直且相交 的直线，依次得 轴上的三个垂足M、N、R。设 分别 是M、N、R点在数轴上的坐标。这样空间內任一点 就确定了唯 一的一个有序数组 ，用 表示之。 反之，任给一个有序数组 ，它们分别在,上对应点 M，N 和 R。过M 、N并在 坐标面内分别作 轴 和 轴的垂线，交于 点；过 作 坐标面的垂线 ，过R 作 的垂直相交线得交点 。这样一个有序数组就确定了空 间内唯一的一个点 ，而 恰好是点 的坐标。 根据上面的法则，我们建立了空间一点与一个 有序数组 之间的一一对应关系。 有序数组 称为点 的坐标（如图8-3）， 而 分别称为 坐标， 坐标和 坐标。 根据点的坐标的规定，可知点 在 轴上，点 在 坐标面上，而点 在 坐标面上。,二、向量的基本概念及其线性运算 1.向量的基本概念 (1).向量和数量 量可分为两种：数量（或标量）只有大小、没有方向； 向量（或矢量）不仅有大小还有方向。 (2).向量的表示 用黑体小写字母表示向量，如 ， ， 等，有时为了书写方便 也用 等表示。几何上用有向线段表示，起点为 、终 点为 的向量记为 （见图8-4）。,(3).向量的模 向量的大小称为向量的模，用 等表示（即有向线 段的长度）。 特别地，模为1的向量称为单位向量；模为零的向量称为零向量 ，记为 。规定零向量的方向为任意方向。 (4).自由向量、平行向量、相等向量、逆向量 约定：我们所讨论的向量与起点无关，在保持长度和方向不变 的条件下可以自由平移，这种向量称为自由向量。 方向相同或相反的两个向量 和 称为平行向量，记为： ；,把模相等且方向相同的两个向量 和 称为相等向量，记为： ； 把与向量 的模相等但方向相反的向量称为 的逆向量，记为： 。 2.向量的加法及向量与数的乘法 (1).向量的加法 向量 、 的和是以 、 为邻边的平行四边形 的对 角线向量 ，记作 。 这种用平行四边形对角线求两向量和的方法称为 平行四边形法则。,由图8-5可知， ，所以又有 ，即以第一个向量 的终点为起点，做第二个向量 ，连接 ，则 就是 与 的和，并称这种求和方法为三角形法则。该法则可以 推广到多个向量的求和。 例如求向量 的和时，可将它们平行移动，使其首尾相接 ，然后以第一个向量的起点为起点，以最后一个向量的终点为 终点做向量即为 三向量的和，如图8-6。 向量的加法满足如下运算规律： （交换律）； （结合律）；, ； 。 (2).向量的减法 向量的减法可作为加法的逆运算：如果 ，则 。 将 与 平移使它们的起点重合，则由 的终点到 的终点作 一向量（方向指向被减向量 ）就是 （见图8-7）。 (3).数与向量的乘积 定义：设 为一实数，向量 与数 的乘积是一个向量，记作 ，并且规定：, ； 当 时： 与 同向；当 时： 与 反向； 当 时， （零向量）。 数与向量的乘积是一种新的运算，常称为数乘向量，其结果为 一新向量；数乘向量满足如下的运算规律（ 为实数）： （结合律）； （对数的加法的分配律）； （对向量的加法的分配律）。 有了数乘向量，便容易表示出向量的单位向量： 把与向量 同向且模为1的向量称为 的单位向量，记为 ，,显然有 或 。 三、向量的坐标表示法 1向径及其坐标表示 （1）向径 起点在坐标原点 ，终点为 的向量 称为点 的向径 （也称为点 的位置向量），记为 或 。 （2）基本单位向量 在坐标轴上分别与 轴、 轴、 轴方向相同的单位向量称为基 本单位向量，分别用 、 、 表示。,（）向径的坐标表示 若点 的坐标为 ，则向量 ， ， ， 由向量的加法法则有： （见图8-8）。即点 的向径 的 坐标表达式为： 。还可简记 为 ，即 。 2向量 的坐标表达式 设有点 、 ，则以 为起点、以 为终 点的向量： ，又因为 、 均为向径，所以,， ，于是有： ， 这就是说 ： 。 3向量 的模 任给一向量 ，都可将其视为以点 为 终点的向径，由上图（图8-8）不难看出 ， 即 ，亦即 向量 的模： 。,4.空间两点间的距离公式 点 与点 间的距离记为 ，则 ，而 ，所 以得： 。 例1 （1）写出点 的向径； （2）写出起点为 ，终点为 的向量的坐 标表达式。 解 （1） 。 （2） 。,例2 已知两点 、 ，求这两点间的距离 。 解 由两点间的距离公式，得 。 例 在 轴上求与点 、 等距离的点。 解 设所求点为 ，由条件 ，有： ， 即 ，两端平方得 ，也即 ，故所求点为 。,5.坐标表示下的向量运算 设 ， ，则有： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 。 证明从略。,第二节 向量的点积和叉积,一、向量的点积（数量积） 1引例 已知力 与 轴正向夹角为 ,其大小为 ，在力 的作用 下，一质点 沿 轴由 点( )移动到 点( )(如图 8-9），求力 所做的功？ 解 力 在水平方向的分力大小为 ， 所以，力 使质点 沿 轴方向(从 到 )所 做的功为： (1) 注意到 ， ，所以(1)式可写成: (2),点积的定义 定义1 设向量 与 之间夹角为 （ ），则称实数 为 与 的点积（或数量积），并用记号 表示，即 = 特别，零向量与任何向量的点积显然为0（即为数零）。 注意，我们约定两向量 与 间的夹角的范围是 于是由定义1即可得： 3点积满足的运算规律 由点积的定义容易验证点积满足下列运算规律： (1) （交换律）；,（2） （分配律）； （3） （结合律）。 显然 ， 且可 得到以下结论 定理1 两个非零向量 与 垂直（记为 ）的充分必要 条件为 。 证明（见书）。 由此定理可得到： , , ；另 有 , , 。 4点积的坐标表示式 则,由此可得上述两非零向量垂直的充分必要条件又可表为： 另外，由 ,可得两向量，夹角的余弦公式： 例 试证向量 , 是互相垂直（即正交）的,证明 因为 ，所以由定理1知与互 相垂直。 例2 设向量 与 x 轴、y 轴、z 轴正向的夹 角分别为 ， ， ，称其为向量 的三个方向角，并称 、 、 为向量 的方向的余弦，试证： , , ，并且 = 1 证明 因为 ， ， ，而单位向量 ， ， 的坐标表达式分别为 ， ， 于是有： ，, = 例3 已知三点 , , , 解 , , , 故 ,二、向量的叉积(向量积) 1引例 设 点为一杠杆的支点 ,力 作用于杠杆上点 处， 求力 对支点 的力矩 . 解 根据物理学知识，力 对点 的力矩是向量 , 其大小为 ，其中 为支点 到 力 的作用线的距离, 为矢量 与 的夹角（如图8-10） 力矩 的方向规定为：伸出右手，让四指与大拇指垂直， 并使四指先指向 方向 ，然后让四指沿小于 的方向握 拳转向力 的方向，这时拇指的方向就是力矩 的方向 因此，力矩 是一个与向量 和向量 有关的向量，其大 小为 ，其方向满足：,（1） 同时垂直于向量 和 ；（2）向量 ， ， 依次符合右 手螺旋法则 2叉积的定义 定义2 两个向量 和 的叉积（也称为向量积）是一个向量，记作 ，并规定如下： （1） ； （2） 的方向规定为： 既垂直于 又垂直于 ，并且 按顺序 ， ， 符合右手螺旋法则（如图8-11） 若把 ， 的起点放在一起，并以 ， 为邻边作一平行四边形， 则向量 与 的叉积的模 即为该平行四边 形的面积（如图8-12）,3叉积满足的运算规律 由叉积的定义可得叉积满足下列运算规律： （1） （反交换律： 与 模相等，方向相反） （2） （与数因子的结合律） （3） （左分配律） （右分配律） 定理2 两个非零向量 、 平行的充要条件是 证明（见书） 由此定理可得： ， ， ； ， ， ， ， ， 4叉积的坐标表示式 设 ， ，,则 = = = 注意 利用三阶行列式，上式可写成 由于两个向量 与 平行的充分必要条件是 ，而 就是 的坐标全为零,即 ， ， 于是得： ， ， 。,所以两个非零向量 与 平行的充分必要条件是： 例4 设 ， ，求 解 = = = 例5 求垂直于 与 的单位向量 解 设 ，则 ， ， 由 而 故得所求单位向量为,例6 已知三点 ， ， ，求 的面积 。 解 因为 sin( )，其在几何上表示以 ， 为 邻边的平行四边形的面积，且 ， ，则有： 故 例7 设 ，如果 与 平行，且已知 ，求 解 设 ， ，则有 ， 从而得 ， ， ，又,又 即 ， ，所以 ， ， 故所求,(4)曲边梯形的曲边由参数方程给出的情形： 如果曲边梯形的曲边由参数方程 给出，其中当 到 时，参数 相应地从 变到 ，而 连续，且 恒有 （ ），则曲边梯形面积为： 。 这里 与 分别是曲边的两个端点所对应的参数值。 例3 计算椭圆 的面积 。 解 由于椭圆关于两坐标轴对称（图7-6）， 所以 ，其中 是椭圆位于第一象限部分 的面积。,椭圆的参数方程为 ，且当 时， ； 时， 。 按公式，得所求面积为： 。 2极坐标情形 设由平面曲线 （ ）及两条射线 围成一平面图形（图7-7），这种图形称为“曲边扇形”。 下面推导在极坐标系下“曲边扇形”的面积公式。 取 为积分变量，其变化区间为 。 于微小区间 上，以小圆扇形面积（图7-7 中的阴影部分）作为小曲边扇形面积的近似值，得面积微元为：,。 再积分，便得所求的曲边扇形面积为： . 例4 求双纽线 所围成的图形面积（图7-8）。 解 由图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，然后再4 倍即可。在第一象限 的变化范围为 ，于是 由公式 即得所求图形的面积为： 。 例5 求心形线 及圆 所围成的阴影部分面积 （图7-9）。,解 先求两线交点，以确定 的变化范围， 解方程组 ，得 。 由图形的对称性，得所求面积为： 二体积 1平行截面面积为已知的立体体积 设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可,用定积分求其体积。 对于一个空间立体，不妨设它与轴线 轴相垂直的平面的截面 面积 （ ）是一已知的连续函数，如图7-10，则可求 得该立体介于 和 之间的体积。 在微小区间 上视 不变，得体积微元 ， 再对 在 上积分，则得体积公式： 例6 设有底圆半径为 的圆柱，被一与圆柱地底面交成 角且 过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积(图7-11) 。,解 取坐标系如图，则底圆方程为： 。 取 为积分变量，其变化区间为 。 在 的任一点 处垂直于 轴作立体的 截面，得一直角三角形，两条直角边分别为 及 ，即 及 。 此直角三角形面积为 ，从而根据公式，即得 楔形体积为： 。 2旋转体体积,旋转体是由某平面内的一个图形绕该平面内的一条定直线旋转 一周而成的立体，这条定直线称为旋转体的轴。 设一旋转体是由连续曲线 和直线 及 轴 所围成的曲边梯形绕 轴旋转而成(图7-12)，下面来求它的体 积 。 这时截面面积 是圆面积， 。 在 的变化区间 上积分，得旋转体体 积为： . 类似地，由曲线 和直线 及 轴所围成 的曲边梯形绕 轴旋转，所得旋转体体积(图7-13)为：, 例7 求由椭圆 所围成的图 形绕 轴旋转而成的旋转椭球体体积(图7-14)。 解 旋转椭球体可看作由上半椭圆 及 轴围成的图形绕 轴旋转而成的，于是 由公式可得所求体积为： 。 例8 求圆 绕 轴旋 转一周所成的旋转体(环体)的体积(图7-15)。,解 将圆方程改写为 ，右半圆弧 方程为 ，左半圆弧 方程为 ，环体是这两个半圆 在 轴的区间 上所围成的曲边梯形绕 轴旋转所得体积之差，于是得体积微元为： 从而由公式可得环体体积为： 。,三平面曲线的弧长 1在直角坐标系中的计算 设曲线 具有一阶连续导数 ，现要求该曲线上从 到 的一段弧 的长度 (图7-16)。 取 为积分变量，它的变化区间为 。 在 上任取微小区间 ，则曲线在 上的小弧段 的长度可以用曲线 在点 处的切线相应于 上 的切线段 来近似代替，于是得弧长微元为：,这里 也即弧微分公式。 最后在 积分，就得所求弧长： 2曲线由参数方程表达时的计算 设曲线的参数方程为 ，当 时，所 对应的点就是曲线上的 点，又 在 上有一阶连 续导数，我们来计算曲线弧 的长度 。 取 为积分变量，它的变化区间为 。在 上任取微小 区间 ，则曲线相应于 的小弧段长度 的近似值 是弧微分，即这时弧长微元为 ,从而所求弧长为： . 注意 (1) 计算弧长时，由于被积函数都是正的，因此为使弧 长为正，定积分定限时要求下限必须小于上限； (2)由于弧长公式中被积函数比较复杂，所以代公式前，要将 部分充分化简后再求积分。 例9 两根电线杆之间的电线，由于自身重量而下垂成曲线，这 一曲线称为悬链线，已知悬链线方程为 ，求 从 到 这一段的弧长(图7-17)。,解 先求导： ，于是弧长微元为： 故由公式得悬链线的所求弧长为： 。 例10 求摆线 在 的一拱的弧长 。 解 由于在 上， ，故由公式可得这一拱摆线长为： 。,第三节 平面与直线,一、平面的方程 1.平面的点法式方程 （1）.法向量 如果一个非零向量垂直于一个平面，则称此向量为该平面的法（线）向量。 （2）.平面的点法式方程 已知点 为平面 上一点，向量 为平面 的法向量，求平面 的方程。 设点为 平面 上任意一点，连结 成向量 （见图8-13）。,由于平面 的法向量 垂直于 上任一直线，故有 ， 从而得到 ， 即有 ，于是得 方程为： （1） 显然平面 上任一点满足方程（1）；反之，若 点 不在平面 上，则 不垂直 ， 从而 ,即点 的坐标不满足方程（1），故方程（1） 是平面 的方程。平面 是方程（1）的图形，我们称这种由平 面 上一定点和其法向量所确定的平面方程为平面的点法式方,程。 例1 求过点 且垂直于向量 的平面方程。 解 由公式（1）得所求平面方程为 ， 即 。 例2 求过三点 , , 的平面方程。 解 ， ，设 ,则 ， , 即 垂直于所求平面，从而有： 故所求平面为 ,即 。,2.平面的一般方程 由上面的讨论可以看出，任一平面方程都是三元一次方程。 反之，任一三元一次方程 (2) 的图形必为平面。 这是因为任取满足方程（2）的一组数 ，有: （3） 式（2）式（3），得 , 这是过点 且法向量 的平面方程，即任 一三元一次方程的图形是一平面。我们称方程 为平面的一般（式）方程，其中 。 下面研究几种特殊位置的平面方程： （1）若 ，则平面一般方程变为 ,由 于点 满足方程，故它表示通过原点的平面。 2）若 ，则方程化为 ，即平面法向量,在轴上投影为0，故 垂直 轴，所以平面平行于 轴；若 , ,则平面过 轴。 同理，平行于 轴和 轴的平面方程分别为： , ；通过 轴和 轴的平面方程分别为： ， ； （3）若 ， ，则平面方程化为 ，故平面平行于 轴及 轴，因而该平面平行于 坐标面。 ， ， 分别为 ， ， 坐标面。 注意 平面方程中若缺 中的某一项，则平面就平行或,通过（ 时）那项所对应的坐标轴；若缺其中两项，则平 面就平行或重合（ 时）于那两项所决定的平面。 例3 求通过 轴和点 的平面方程。 解 由所给条件，设所求平面方程为 ,由点 在平面上，所以有 , ,代入方程 , 得 ，又显然 ，故得所求平面方程为: 例4 求过点 ,且平行于 ， 的平面方程。 解 设平面的法向量为 ，由条件 ， ，所以可取：,故所求平面方 程为 , 。类似例2可得， 过点 , , 的平面方程为 ，我们称之为平面的截距式方程。其中 分别为平面在 轴， 轴， 轴上的截距（如图8-14）。 例5 求在 轴， 轴， 轴上的截距分别为3，-1，2的平面方程。 解 由条件知所求平面方程为 。,例6 一平面过点 ，且与平面 平行，求该平面方程。 解 由条件知所求平面的法线向量 平行于平面 的法线向量 ，故可取： 由法点式得所求平面方程为: ,即 。 例7 一平面过点 ， ，且与平面 垂直，求该平面的方程。 解 平面 的法向量 ， 显然所求平面的法向量 ， ，故可取： 由点法式得所求平面方程为 ，,即 。 在这里，我们规定两平面法向量间的夹角为两平面的夹角。 例8 求两平面 与 的夹角 。 解 已知 ， ，故 于是得夹角 。 二、直线的方程 1.直线的点向式方程及参数式方程 （1）.直线的方向向量 如果一个非零向量平行于一条已知直线，则称这个向量为该直,线的方向向量。 （2）.直线的点向式方程（标准式方程） 已知向量 （ 不全为零）和一定点 ，求经过点 且与平行的直线方程。 设 是所求直线上的任意一点，由条件 ，而 ， （如图8-15），由二非零向量平行的充分必要条件得： (4),方程组（4）称为直线的点向式方程（也称为直线的标准式方 程）。 注意 因为 ，所以 不全为零。 若其中有一个为零，例如 时，（4）式应理解为 而当有两个为零时，例如 ,（4）式应理解为 例9 求过两点 ， 的直线方程。 解 所求直线的方向向量为：,由直线的点向式方程得所求直线方程为 （3）。直线的参数式方程 设一直线的点向式方程为： ， 于是有 ， ， ，即有 （t为参数） (5) 我们称方程组（5）为直线的参数式方程。 2。直线的一般式方程 空间直线也可看作两个平面的交线，所以可用这两个平面方程的联立方程组来表示直线的方程，即： (6) 方程组（6）称为直线的一般式方程，也称为直线的面交式方程 。注意 只有两个平面不平行时才会有交线。,3.直线一般式方程与点向式方程的相互转化 （1）.一般式方程化为点向式方程 由直线的一般式方程化为点向式方程，可先求出满足式（6）的 任意一组解 ，则点 即为直线上的点； 由于直线的方向向量 与两平面的法向量 ， 都垂直， 所以可选 。由点 及方向向量 可把直线的一般式 方程化为点向式方程。 例10 把直线的一般式方程 化为点向式方 程。 解 由条件知两平面的法向量分别为： ， 设所求直线的方向向量为 ，则 ， 故取 ，即,再求直线上的一定点A，取 ，得 解得 ， ，即 在直线上，故得直线点向式方程为 。 （2）.点向式方程化为一般式方程 由直线的点向式方程化为一般式方程，只需将点向式方程的两个等号所联接的式子写成两个平面方程，再联立即可。 即 变形后，得： ，此即为 直线的一般式方程。 例11 求过点 且与直线 平行的直线方程。 解 因所求的直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量,可取为 =2，3，-5 ，于是得到所求直线的标准方程为： 例12 求过点M (2，1，2 )且与两平面2x + y + z + 1= 0和x + yz2= 0都平行的直线方程。 解 因所求直线与两已知平面平行， 故所求直线的方向向量 与两已知平面的法向量 ， 垂直，即 , ,故取 ， 即 ，,于是得所求直线方程为 。 4。两直线的夹角 两直线方向向量间的夹角称为两直线的夹角。 例13 求直线 和 间的夹角。 解 直线L1，L2的方向向量分别为 ， ， 故两直线间的夹角 的余弦为： 所以 。 例14 求过点A (1，1，0)和直线 的平面方程。 解 显然点 在平面上，设所求平面法向量为 ，,则 ， ，其中 ， ， 从而 故所求平面方程为 ，即 例15 求过直线 且与平面 垂直的平面方程。 解 显然已知直线的方向向量 ，已知平面的法向量 ，设所求平面法向量为 ，则 ， 于是取 ，又所求平面过已 知直线上的点 ，故所求平面方程为： 即 。 三、直线与平面的位置关系,直线与它在平面上的投影线间的夹角 ，称为直线与平面的夹角。 设直线 L 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，向量 与 间的夹角为 （如图8-16）， 则 ， ，所以 。 例16 讨论直线L： 和平面 ： 的位置关系。 解 由于直线L的方向向量 ，平面 的法向量 ，所以，直线L与平面 的夹角 的正弦：,所以 ，即直线L与平面 平行或直线L在平面 内。容易验 证直线L上的点 在平面 上， 所以直线L在平面 上。,第四节 曲面与空间曲线,一、曲面方程的概念 定义 如果曲面上每一点的坐标都满足方程 ， 而不在曲面 上的点的坐标都不满足这个方程，则称方程 为曲面 的方程，而称曲面 为此方程的图 形。 例1 求与两定点 ， 等距离的点的轨 迹方程。 解 设 为轨迹上的点，按题意有： ， = ， 化简得：,因此在轨迹上的点的坐标满足上述方程，而不在轨迹上的点的 坐标不满足该方程，所以它就是所求点的轨迹方程。该方程是 的一次方程，它表示一个平面。 例2 求球心在 ，半径为R的球面方程。 解 设定点 的坐标为 ，则点 在以 为球心，以R为球半径的球面上的充要条件为 即 。 两边平方，得 显然，球面上的点的坐标满足方程，不在球面上的点的坐标 不满足方程，所以方程就是以 球心，以R为球 半径的球面方程。 时，则得球心在坐标原点的球面方 程为： 二、母线平行于坐标轴的柱面 1.定义 直线L沿定曲线C平行移动所形成的曲面称为柱面；定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线,（见图8-17）。 2.柱面方程 本节我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直 于该坐标面的柱面，先看一个具体问题。 设一个圆柱面的母线平行于z轴，准线C是 平面上以原点为 圆心，R为半径的圆，即准线C的方程为 ，试求。 在圆柱面上任取一点 ，过点的母线与 平面的交点 一定在准线C上（见图8-18），所以不论点M 的坐标 中的 z 取什么值，它的横坐标 x 和纵坐标 y 必定满足方 程 ;反之，不在圆柱面上的点，它的坐标不满足 这个方程，于是所求柱面方程为 。 注意 在平面直角坐标系中，方程 表示一个圆， 而在空间直角坐标系中，方程 表示一个母线平行于 z轴的圆柱面。,一般来说，如果柱面的准线是 面上的曲线C，它在平面直角坐标系中的方程为 ，那么， 以C为准线，母线平行于z轴的柱面方程 就是 。相仿地，方程 表示 母线平行于 x 轴的柱面； 方程 表示母线平行于y轴的柱面。 于是，我们有结论：在空间直角坐标系 下，二元方程必为柱面方程，且方程中缺哪个 变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴。 例如： 方程 表示母线平行于轴的椭 圆柱面，方程 表示母线平行于轴 的双曲柱面，方程 表示母线 平行于轴的抛物柱面，,以上三个方程都是二次的，因此称其为二次柱面（见图8-19、 8-20、8-21）。 三、旋转曲面 1.定义 一平面曲线C 绕同一平面上的一条定直线L 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面；其中曲线C 称为旋转曲面的母线，直线L称为旋转曲面的轴（或称旋转轴）。 .旋转曲面方程 我们本节主要讨论母线在某个坐标面上，旋转轴是该坐标面上,的一条坐标轴的旋转曲面。 设在 平面上有一条已知曲线C，它方程是： 求此曲线C 绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程（见图8- 22）。 在旋转曲面上任取一点 ，设这点是 由母线上点 绕轴旋转一定角度而得 到。由图8-22可知，点 与z 轴的距离等于 点与z轴的距离，且有同一竖坐标，即 , ,又因为点 在母线C 上， 所以 ，于是有： 。旋转曲面上的 点都满足方程 ，而不在旋转曲面上的点都不 满足该方程，故此方程是母线为 C ，旋转轴为z 轴的旋转,曲面的方程。可见，只要在 坐标面上曲线C 的方程 中，将 y 换成 ，就得到曲线C 绕轴旋转的旋转曲面 方程。 同理，曲线C 绕y 轴旋转所成的的旋转曲面方程为 对于其它坐标面上的曲线，绕该坐标面上任何一条坐标轴旋转 所生成的旋转曲面，其方程可以用上述类似方法求得。 例3 求由 平面上的直线 绕z轴旋转所生成的旋 转曲面方程。 解 在 中，把 y 换成 ，得所求方程为 ，即 ，此曲面为顶点在原点，对称轴为轴的圆锥面（见图8-23）。 四、二次曲面 由上一节已知，在空间直角坐标系中，若方程 是一次方程，则它的图形必是一个平面。平面也称为一次曲面； 若方程 是二次方程，则它的图形称为二次曲面。,对于空间曲面方程，我们一般地用一系列平行于坐标面的平面 去截曲面，从而求得一系列的交线，对这些交线进行综合分析 就可了解曲面的形状和特征，这种方法称为截痕法。 下面我们就用截痕法研究几个常见的二次方程所表示的二次曲 面的形状和特征。 1.椭球面 方程 所表示的曲面称为椭球 面，其中a、b、c称为椭球面的半轴。 由方程 可知 ，即 由此可见，该曲面包含在 ， ， 这六个平面所 围成的长方体内。 现用截痕法来考