2018年高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理学案苏教版.docx

2.1 合情推理与演绎推理第1课时归 纳 推 理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？提示：都能导电问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.年龄(岁)3035404550556065收缩压(水银柱/毫米)110115120125130135145舒张压(水银柱/毫米)70737578808388提示：14085问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高问题5：数列an的前五项为1，3，5，7，9试写出an.提示：an2n1(nN*)1推理(1)推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理(2)推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得命题，它告诉我们推出的知识是什么2归纳推理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理(2)归纳推理的思维过程如图(3)归纳推理的特点归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题1归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围2归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质3归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的4观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据5由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一例1已知数列an的第1项a11，且an1(n1，2，)，求出a2，a3，a4，并推测an.思路点拨数列的通项公式表示的是数列an的第n项an与序号n之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出n与an的关系即可解决精解详析 当n1时，a11；当n2时，a2；当n3时，a3；当n4时，a4.观察可得，数列的前4项等于相应序号的倒数由此猜想，这个数列的通项公式为an.一点通在求数列的通项与前n项和时，经常用归纳推理得出结论这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n的关系，往往会较简捷地获得结论1已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足Sn.求出a1，a2，a3，a4，并推测an.解：Sn，a1，a1.又an0，a11；a1a2，即1a2，a21；a1a2a3，即a3，a3；a1a2a3a4，a4，a42；观察可得，an.2已知数列an中，a26，n.(1)求a1，a3，a4；(2)猜想数列an的通项公式解：(1)由a26，1，得a11.由2，得a315.由3，得a428.故a11，a315，a428.(2)由a111(211)；a262(221)；a3153(231)；a4284(241)，猜想ann(2n1).例2对任意正整数n，试归纳猜想2n与n2的大小关系思路点拨精解详析当n1时，2112；当n2时，2222；当n3时，2352；当n6时，2662.归纳猜想，当n3时，2nn2；当nN*，且n3时，2nn2.一点通对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形(通分、因式分解等)，变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简3观察下列式子：1，1，1，猜想第n个不等式为_解析：第1个不等式：1；第2个不等式：1；第3个不等式：1；故猜想第n个不等式为1.答案：14对任意正整数n，猜想nn1与(n1)n的大小关系解：n1时，1221；n2时，2343；n4时，4554，n5时；5665.据此猜想，当n3时，nn1(n1)n.例3古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1，3，6，10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第n个三角形数思路点拨将1，3，6，10分别写成，据此可完成本题的求解精解详析观察项与项数的关系特点如下：项1234项数分析：项的各分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数与1和的积归纳：第n个三角形数应为(nN*)一点通此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n项和等5下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n个图有an个树枝，则an1与an(n1)之间的关系是_解析：由图可得，第一个图形有1根树枝，a11，第2个图形有3根树枝，即a23，同理可知：a37, a415，a531.归纳可知：a232112a11，a372312a21，a4152712a31，a53121512a41，由归纳推理可猜测：an12an1.答案：an12an16根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中点的个数是_解析：图中点的个数依次为：1，3，7，13，21.又1101；3112；7123，13134，21145.结合项数与项的关系猜想第n个图中点的个数为：1(n1)n，即为n2n1(nN*)答案：n2n1(nN*)例4如图是杨辉三角的前5行，请试写出第8行，并归纳、猜想一般规律思路点拨由杨辉三角的前5行总结各行数字的规律，由此寻找第8行的数字，整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律精解详析第8行：1 7 21 35 35 21 7 1.一般规律：(1)每行左、右的数字具有对称性；(2)两斜边的数字都是1，其余数字等于它肩上两数字之和；(3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等且最大一点通解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：(1)明确各行、各列数的大小；(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系；(3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论7将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第n(n3)行的从左至右的第3个数是_解析：第1行，第2行，第3行，分别有1，2，3，个数字，且每个数字前后差1，则第n1行的最后一个数字加3即为第n(n3)行的从左至右的第3个数，前n1行共有数字123(n1)，则第n(n3)行的从左至右的第3个数为3.答案：12 43 5 76 8 10129 1113151714 16 18 20 2224 8.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三角形数表，设aij(i，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j行如a428，若aij2 009.则i和j的和为_解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 00921 0051，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i63，因为第63行的第一个数为296211 923，2 0091 9232(m1)，所以m44，即j44，所以ij107.答案：1071归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物个别情况，发现某些相同性质(2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论(3)猜想这个结论对该类事物都成立2归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明一、填空题1(陕西高考)观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律， 第n个等式可为_解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n1)，(nn)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)答案：(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)2已知f1(x)cos x，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn1(x)，则f2 016(x)_解析：f1(x)cos x，f2(x)f1(x)sin x，f3(x)f2(x)cos x，f4(x)f3(x)sin x，f5(x)f4(x)cos x，再继续下去会重复出现，周期为4，f2 016(x)f4(x)sin x.答案：sin x3根据三角恒等变换，可得到如下等式：cos cos ；cos 22cos2 1；cos 34cos3 3cos ；cos 48cos4 8cos2 1；cos 516cos5 20cos3 5cos 依照规律猜想cos 632cos6 mcos4 ncos2 1.则mn_解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是1，即32mn11.mn30.答案：304已知an，把数列an的各项排成如下的三角形：a1a2a3a4a5a6a7a8a9记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11，12)_解析：每行对应的元素个数分别为1，3，5 ，那么第10行最后一个数为a100，则第11行的第12个数为a112，即A(11，12)a112.答案：5经计算发现下列不等式：2，2， 2，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：_.解析：21820，4.515.520，31720，即各不等式左边两根号内的数之和等于20，右侧均为2.答案：当ab20，a，b(0，)时，有2二、解答题6已知 2， 3， 4，若 6(a，b均为实数)，请推测a，b的值解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中，a6，b62135，即a6，b35.7在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线由此猜出凸n边形有几条对角线？解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n1边形多n2条对角线，由此凸n边形对角线条数为2345(n2)n(n3)(n4，nN*)8观察：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101；tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51.由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广解：观察到10206090，5107590，因此猜测此推广为，且、都不为k，kZ，则tan tan tan tan tan tan 1.证明如下：由得，tan()tancot .又tan()，tan tan tan()(1tan tan )cot (1tan tan )tan tan tan tan tan tan tan (tan tan )tan tan tan (1tan tan )cot tan tan 1tan tan tan tan 1.第2课时类 比 推 理为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征1类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法其思维过程为：2合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理类比推理的特点主要体现在以下几个方面：(1)类比推理是从特殊到特殊的推理(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征例1在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立类比上述性质，相应地，在等比数列bn中，若b91，则有什么样的等式成立？思路点拨在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂精解详析在等差数列an中，a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1.又由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana1a2a19n，若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相应的，在等比数列bn中，若b91，则可得b1b2bnb1b2b17n(n0，则数列dn_(nN*)也是等比数列答案：2已知命题：若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m，nN*)，则amn.现已知等比数列bn(bn0，nN*)，且bma，bnb(mn，m，nN*)，类比上述结论，求bmn.解：等差数列通项an与项数n是一次函数关系，等比数列通项bn与项数n是指数型函数关系利用类比可得bmn.例2如图，在三棱锥SABC中，SASB，SBSC，SASC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为1、2、3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想思路点拨在DEF中，有三条边，三个角，与DEF相对应的是四面体SABC，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是SA，SB，SC与底面ABC所成的三个线面角1，2，3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中精解详析在DEF中，由正弦定理，得.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体SABC中，我们猜想成立一点通(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论(2)平面图形与空间图形类比平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三角形四面体3在平面中ABC的角C的内角平分线CE分ABC面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E，则类比的结论为_ 图(1) (2)解析：平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成.故有.答案：4.如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解：如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .例3我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；(3)在等和数列an中，如果a1a，a2b，求它的前n项和Sn.思路点拨可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n项和精解详析(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列(2)由(1)知anan1an1an2，所以an2an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等(3)当n为奇数时，令n2k1，kN*，则SnS2k1S2k2a2k1(ab)a(ab)aab；当n为偶数时，令n2k，kN*，则SnS2kk(ab)(ab)所以它的前n项和Sn一点通(1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性5类比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量a，有且只有一对实数1，2，使得a1e12e2.”写出空间向量基本定理的是_答案：如果e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量a，有且只有一组实数1，2，3，使得a1e12e23e36已知椭圆C：1具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线1写出类似的性质，并加以证明解：类似的性质：若M，N是双曲线1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值证明如下：设M(m，n)，则N(m，n)，其中1.设P(x，y)，由KPM，KPN，得KPMKPN，将y2x2b2，n2m2b2代入得KPMKPN.1进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2多用下列技巧会提高所得结论的准确性：(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面一、填空题1正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是_，结论是_答案：正方体正方体的体积为棱长的立方2给出下列推理：(1)三角形的内角和为(32)180，四边形的内角和为(42)180，五边形的内角和为(52)180，所以凸n边形的内角和为(n2)180；(2)三角函数都是周期函数，ytan x是三角函数，所以ytan x是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行其中属于合情推理的是_(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理答案：(1)(3)(4)3三角形的面积为S(abc)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为_解析：ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：设四面体ABCD的内切球球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V(S1S2S3S4)r.答案：(S1S2S3S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径)4在平面几何中，有射影定理：“在ABC中，ABAC，点A在BC边上的射影为D，有AB2BDBC.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥ABCD中，AD平面ABC，点A在底面BCD上的射影为O，则有_”答案：SSBOCSBCD5已知结论：“在三边长都相等的ABC中，若D是BC的中点，G是ABC外接圆的圆心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则_”解析：如图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，则BM，AM ，R ，解得R.于是，3.答案：3二、解答题6已知：等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：(1)通项anam(nm)d.(2)若mnpq，且m，n，p，qN*，则amanapaq.(3)若mn2p，且m，n，pN*，则aman2ap.(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质解：设等比数列bn中，公比为q，前n项和为Sn.(1)通项anamqnm.(2)若mnpq，且m，n，p，qN*，则amanapaq.(3)若mn2p，且m，n，pN*，则aaman.(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列7类比圆的下列特征，找出球的相关特征(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求解：(1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球的表面积与体积可求8若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b，则两边均含有运算符号“*”和“”，写出对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式解：由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不惟一解决这道试题要把握住a*b，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号 “*”和“”，则可容易得到a(b*c)(ab)*(ab)正确的结论还有：(a*b)c(a*c)(b*c)，(a*b)c(b*a)c等第3课时演 绎 推 理看下面两个问题：(1)是任意非空集合的真子集，A是非空集合，所以是集合A的真子集；(2)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？提示：都说的一般原理问题2：第二句又说什么？提示：都说的特殊示例问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例作出判断1演绎推理含义由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法特点(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.2三段论一般模式常用格式大前提提供了一个一般性的原理M是P小前提指出了一个特殊对象S是M结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系S是P1演绎推理是由一般到特殊的推理，一种必然性的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提与结论之间的联系是必然的2三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确例1将下面的演绎推理写成三段论的形式：(1)所有椭圆的离心率e的取值范围为(0，1)，曲线C：y21是椭圆，所以曲线C的离心率e的取值范围为(0，1)(2)等比数列的公比都不为零，数列2n(nN*)是等比数列，所以数列2n的公比不为零思路点拨这种类型的题目只要明确各推理案例中的大