矩阵运算与Matlab命令.ppt

实 验 一,矩阵运算与Matlab命令,日常矩阵及其运算,矩阵应用实例: 榄球防护用品的生产管理,应用问题,一个工厂生产三种橄榄球用品 ： 防护帽、 垫肩、臀垫。 需要不同数量的：硬塑料 、 泡沫塑料 尼龙线 、 劳动力。 为监控生产，管理者对它们之间的关系十分关心。 为把握这些量的关系，他列出下面的表,生产原料和产品关系表,订单,管理者接到四份订单如上表所示。 问应该如何计算每份订单所需的原材料，以便组织生产？,将表格写成矩阵形式,MATLAB的运行方式,1.直接在命令窗口中输入： 2.M文件输入法：,M文件建立方法： 1. 在Matlab中，点:File-New-M-file 2. 在编辑窗口中输入程序内容 3. 点：File-Save，存盘。,对于简单问题，使用直接输入命令简单有效；对稍复杂和多次重复的应用，直接输入命令比较麻烦。MATLAB提供了逻辑解决方案，它允许用户把多个命令放在一个简单的文本文件中，如同在MATLAB中键入命令一般，这种文件称为脚本文件，由于脚本文件以m为扩展名，它常称为M文件。脚本文件为文本形式的，对跨平台处理十分有利。 使用M文件，可以把命令保存在磁盘上，便于以后的访问；同时对使用大的数组也带来的方便； 增加注释可以为脚本中的命令作文挡以免以后忘记。 % 以一个%开头的行是注释行,不被执行,矩阵：matrix meitriks,是matlab进行数据处理和运算的基本元素 大部分运算和命令都是在矩阵的意义进行的 仅有一行或一列的矩阵称为向量 vector vekt n. 向量（又称矢量） 学好线性代数,Matlab基本指令,向量的创建和运算,1. 直接输入向量,向量的输入格式:向量名=x1,x2,xn或=x1 x2 xn x=x1,x2,xn或x=x1 x2 xn 注意：将向量的元素用方括号 括起来， 分量间的各元素之间用空格或逗号分隔，此时输入 的是行向量， 列向量可用转置运算 x1=1 2 4, x2=1,2,1, x3=x1 运行结果 x1 = 1 2 4 x2 = 1 2 1 x3 = 1 2 4,注意： 多条命令可以放在一行中 同行中各条命令用逗号隔开，表示需要显示结果 各条命令可用分号隔开，表示禁止结果显示 x1=1 2 4, x3=x1 运行结果 x1 = 1 2 4 x3 = 1 2 4 x1=1 2 4; x3=x1 运行结果 x3 = 1 2 4,2.冒号创建向量,冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3 其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。 注：步长e2 =1时，可用初始值：终止值的格式e1:e3 x1=3.4:6.7, x2=3.4:2:6.7， x3=2.6:-0.8:0 运算结果： x1 = 3.4000 4.4000 5.4000 6.4000 x2 = 3.4000 5.4000 x3 = 2.6000 1.8000 1.0000 0.2000,3.生成线性等分向量,指令x=linspace(a,b,n) 在a,b区间产生 n 个等分点(包括端点) linspace 线性等分向量 其调用格式为：linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。 x=linspace(0,1,5) 运行结果： x = 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000,工作空间workspace,在Matlab窗口创建向量后并运行后，向量就存在于工作空间，可以被调用。 下面介绍运算，先介绍运算符号和一些函数调用，,常用的数学运算符, - 加 - 减 * - 乘 - 左除 / - 右除 - 幂,常用数学函数,sin () - 正弦 cos () - 余弦 tan () - 正切 cot() - 余切 asin () - 反正弦 acos() - 反余弦 atan() - 反正切 acot() - 反余切 sqrt() - 求平方根 abs () - 求绝对值,square root square skw 平方 root ru:t, rut 根 absolute bslju:t adj. 绝对的； absolute value 绝对值,exp() - 以e为底的指数函数 exponent ikspunnt n. 数 指数； exponential function 指数函数 log () - 自然对数（以e为底的对数 ln） log10 () - 求以10为底的对数 log2 () - 求以2为底的对数 logarithm lrim n. 数 对数 logarithmic function lrimik 对数函数 另外loga(b)，根据换底公式可表示为： log(b)/log(a) Power function 幂函数 conj () - 共扼复数 imag(x) - 求x的虚部 real(x) - 求x的实部 sign(x) - 求x的符号,特殊常量,Pi 圆周率 inf 无穷大 ，由零做除数引入此常量 infinite infint 数 无穷大,向量的运算,设x=x1 x2 x3; y=y1 y2 y3;为两个三维向量，a,b为标量。 向量的数乘：a*x=a*x1 a*x2 a*x3 向量的平移： x+b=x1+b x2+b x3+b 向量和： x+y=x1+y1 x2+y2 x3+y3 向量差： x-y=x1-y1 x2-y2 x3-y3 数的乘幂： 如 a2,例如： x1=1 2 4, x2=1,2,1,运行结果：x1 =1 2 4 x2 = 1 2 1 数乘：2*x1 ans = 2 4 8 平移:2+x1 ans =3 4 6 和:x1+x2 差：x1-x2,元素群运算(四则运算）：单个元素的成批运算:,x.*y=x1*y1 x2*y2 x3*y3 (元素群乘积) x./y=x1/y1 x2/y2 x3/y3 (元素群右除，右边的y做分母) x.y=y1/x1 y2/x2 y3/x3 (元素群左除，左边的x做分母) x=1 2 4, y=1,2,1 运行结果：x =1 2 4 y= 1 2 1 x.*y= 1 4 4 x./y= 1 1 4 x.y= 1.0000 1.0000 0.2500,元素群运算(四则运算）：单个元素的成批运算:,x.5=x15 x25 x35 (元素群乘幂) 2.x=2x1 2x2 2x3 (元素群乘幂) x.y=x1y1 x2y2 x3y3 (元素群乘幂) power,程序：x=1 2 4, y=1,2,1 运行结果： x=1 2 4, y=1 2 1 x.5= 1 32 1024 2.x= 2 4 16 x.y= 1 4 4,元素群函数的计算,Matlab有许多内部函数，可直接作用于向量产生一个同维的函数向量。 x=linspace(0,4*pi,100);（产生100维向量x） y=sin(x); (y也自动为100维向量) y1=sin(x).2; y2=exp(-x).*sin(x); 观察结果,创建矩阵（数值矩阵的创建）,1. 直接输入法创建简单矩阵。 A=1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12 约定：矩阵的元素必须放在方括号内， 每行的元素间使用空格或逗号隔开 行与行之间用分号隔开， 元素可以是数值或表达式 B=-1.3,sqrt(3);(1+2)*4/5,sin(5);exp(2),6 观察运行结果,计 算,输入下面Matlab指令 A=4 2 3;1 3 2;1 3 3;3 2 2, B=35 20 60 45;10 15 50 40;20 12 45 20 C=A*B 请自行计算观看结果,创建矩阵（符号矩阵的创建）,用指令“syms”说明符号变量。 syms a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 A1=a11 a12 a13 a14 ;a21 a22 a23 a24; a31 a32 a33 a34, B1=b11 b12 b13 b14 ;b21 b22 b23 b24; b31 b32 b33 b34 运行,syms a b c d e f g h A= a b; c d，B=e f;g h A*B a*e+b*g, a*f+b*h c*e+d*g, c*f+d*h,2.矩阵运算:,矩阵的四则运算 + - * / 矩阵的乘方 矩阵乘方 An .元素对元素的乘方 求行列式：det(A) determinant dit:minnt n.数 行列式 求逆：inv(A) inverse inv:s n.逆 注意：这两种运算都要求矩阵A为方阵 求转置: A 用符号来表示和实现,1.矩阵的四则运算 (1) 矩阵加减运算 假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实现矩阵的加减运算。 运算规则是：若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减。如果A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。 C=A1+B1 D=A1-B1,(2) 矩阵乘法 假定有两个矩阵A和B，若A为mn矩阵，B为np矩阵，则C=A*B为mp矩阵。 C=A1*B1 数乘 syms c, cA=c*A1,(3)左除和右除,左除“ ”： 求矩阵方程AX=B的解；（ A 、B的行要保持一致） 解为 X=AB； 当A为方阵且可逆时有X=AB=inv(A)*B； 右除“ / ”： 求矩阵方程XA=B的解 （A 、B的列要保持一致） 解为 X=B/A ， 当A为方阵且可逆时有X=B/A=B*inv(A),例：求矩阵方程： 设A、B满足关系式：AB2B+A,求B。 其中A=3 0 1; 1 1 0; 0 1 4。 解：有(A-2I)BA 程序 ： A=3 0 1; 1 1 0;0 1 4 B=inv(A-2*eye(3)*A, B=(A-2*eye(3)A 观察结果： B = 5 -2 -2 4 -3 -2 -2 2 3,矩阵的转置、逆、行列式：,转置A 求逆：inv(A) 求行列式：det(A) 注意：这两种运算都要求矩阵A为方阵！ 程序： H=1 2 3 ; 2 1 0 ; 1 2 3 , H det(H), inv(H),H = 1 2 3 2 1 0 1 2 3 H = 1 2 1 2 1 2 3 0 3 det(H) = 0 inv(H) Warning: Matrix is singular to working precision. ans = Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf,矩阵下标 MATLAB通过确认矩阵下标，可以对矩阵进行插入子块，提取子块和重排子块的操作。 A(i,j)：提取第i行，第j列元素， A(:,j)：提取第j列元素 A(i,:)：提取第m行元素 A(i1:i2,j1:j2)：提取第i1行到第i2行和第j1列到第j2列的所有元素（提取子块）。,程序： A2=A1(:,1:3), B1， %提取A1中的前三列 G=A2*B1,3.分块矩阵（矩阵的标识）,1.矩阵元素的标识 ： A(i,j)表示矩阵A 的第 i 行 j 列的元素；,H=1 2 3 ; 2 1 0 ; 1 2 3 , H(1,3) -提取第1行、第3列元素 H(:,3)-提取第3列元素 H(2,:) -提取第2行元素 H(1:2,2:3)-提取第1到2行、第2到3列元素 运行结果： H= 1 2 3 2 1 0 1 2 3 H(1,3)=3 H(:,3)= 3 0 3 H(2,:) =2 1 0 A(1:2,2:3)= 0 1 1 0,2.向量标识方式 A(vr,vc)： vr=i1,i2,ik、vc=j1,j2,ju 分别是含有矩阵A的行号和列号的单调向量。 A(vr,vc)是取出矩阵A的第i1,i2,ik行与j1,j2,ju列交叉处的元素所构成新矩阵,可实现对矩阵的提取和分块。 vector vekt n. 向量 row ru n. 行 column klm n 列 常用的：vr=: 表示取出全部行 vc=: 表示取出全部列,程序：A=1 0 1 1 2;0 1 -1 2 3;3 0 5 1 0;2 3 1 2 1, vr=1, 3;vc=1, 3; A1=A(vr, vc) 取出A的1、3行和1、3列的交叉处元素构成新矩阵A1 A(:,vc), A(vr,:) 观察结果 A = 1 0 1 1 2 0 1 -1 2 3 3 0 5 1 0 2 3 1 2 1 A1 = 1 1 3 5 A(:,vc) =1 1 0 -1 3 5 2 1 A(vr,:)= 1 0 1 1 2 3 0 5 1 0,MATLAB通过确认矩阵下标，可以对矩阵进行插入子块，提取子块和重排子块的操作。,A(m,n)：提取第m行，第n列元素 A(:,n)：提取第n列元素 A(m,:)：提取第m行元素 A(m1:m2,n1:n2)：提取第m1行到第m2行和第n1列到第n2列的所有元素（提取子块）。,说明： 我们不仅可以用A(vr,vc)对矩阵进行分块，也可以定义子矩阵，然后再把他们拼接大矩阵,例：将A分为四块，并把它们赋值到矩阵B中，观察运行后的结果。,程序:A=1 0 1 1 2;0 1 -1 2 3; 3 0 5 1 0;2 3 1 2 1, A11=A(1:2,1:2), A12=A(1:2,3:5), A21=A(3:4,1:2), A22=A(3:4,3:5) B=A11 A12;A21 A22子矩阵拼接成一个大矩阵 运行结果: A = 1 0 1 1 2 0 1 -1 2 3 3 0 5 1 0 2 3 1 2 1 A11 = 1 0 A12 = 1 1 2 0 1 -1 2 3 A21 = 3 0 A22 = 5 1 0 2 3 1 2 1 B = 1 0 1 1 2 0 1 -1 2 3 3 0 5 1 0 2 3 1 2 1,（2）矩阵的修改和提取,1.修改：要修改已经定义好的，只需对它的子 块重新赋值。 如果在取子块时， 例：修改矩阵A，将它的第1行变为0。 程序： A=1 0 1 1 2; 0 1 -1 2 3; 3 0 5 1 0; 2 3 1 2 1 A(1,:)=0 0 0 0 0; 运行结果：A =1 0 1 1 2 0 1 -1 2 3 3 0 5 1 0 2 3 1 2 1 A =0 0 0 0 0 0 1 -1 2 3 3 0 5 1 0 2 3 1 2 1,2.删除：如果在矩阵子块赋值为空矩阵(用 表示)，则相当于删除除相应的矩阵子块. 删除上面矩阵A的第1、3行 删除矩阵A的第2、4列 程序： A(1,3,:)= A(:,2,4)= 结果 A =1 0 1 1 2 0 1 -1 2 3 3 0 5 1 0 2 3 1 2 1 A = 0 1 -1 2 3 2 3 1 2 1 A = 1 1 2 0 -1 3 3 5 0 2 1 1,(4)生成特殊矩阵,全1阵 ones(n), 生成 的全1阵 ones(m,n), 生成 的全1阵 ones(size(A)生成与矩阵A同维数的全1阵 全零阵： zeros， zeros(m,n), zeros(size(A),(4)生成特殊矩阵,单位阵： eye(n)， eye(m,n) 随机阵：矩阵的每一个元素是0,1上的随机数 rand(m,n)， rand(n)=rand(n,n)用于随机模拟，常和rand(seed,k)配合使用。,将rand指令运行多次，观察结果。 程序： y1=rand(1,5), y2=rand(1,5), 如果希望运行结果保持一致，需要和rand(seed,k), 配合使用。 rand(seed,3), x1=rand(1,5), rand(seed,3), x2=rand(1,5) 结果,常用矩阵函数,det(A) ： 方阵的行列式； rank(A)： 矩阵的秩； eig(A)： 方阵的特征值和特征向量； trace(A)： 矩阵的迹； rref(A)： 初等变换阶梯化矩阵A svd(A)： 矩阵奇异值分解。 cond(A)： 矩阵的条件数；,数据的简单分析,1.当数据为行向量或列向量时，函数对整个向量进行计算. 2.当数据为矩阵时，命令对列进行计算，即把每一列数据当成同一变量的不同观察值。 常用的数据分析函数：max(求最大)、min(求最小)、mean(求平均值)、sum(求和)、std(求标准差)、cumsum(求累积和)、median(求中值)、diff(差分)、sort(升序排列)、sortrows(行升序排列)等等。,观察：生成一个36的随机数矩阵，并将其各列排序、求各列的最大值与各列元素之和。 程序 A=rand(3,6