微分中值定理和导数的应用.ppt

1,微分中值定理和导数的应用,第四章,2,微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。,1. 预备定理费马(Fermat)定理,费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。,第一节 微分中值定理,3,几何解释:,1. 预备定理费马(Fermat)定理,曲线在最高点或最低点如果有切线，则切线必然是水平的。,4,证明:,极限的保号性,5,2. 罗尔(Rolle)定理,y=f (x),几何解释:,如果连续光滑的曲线 y=f (x) 在端点 A、B 处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点 C(x , f(x)，曲线在 C点的切线是水平的。,如果函数yf (x)满足条件：(1)在闭区间a, b上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，(3) f (a)f (b)，则至少存在一点x(a, b)，使得f (x) 0。,6,证,由费马引理,所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。,7,注意：,f (x)不满足条件(1),f (x)不满足条件(3),f (x)不满足条件(2),如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。,8,例1,验证,9,例2 不求导数，判断函数f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围。,解 f (1)=f (2)=f (3)=0，f(x)在1, 2，2, 3上满足罗尔定理的三个条件。 在 (1, 2) 内至少存在一点 x1，使 f (x1)=0，x1是 f (x)的一个零点。 在(2, 3)内至少存在一点 x2，使f (x2)=0，x2也是f (x)的一个零点。 f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2)及(2, 3)内。,思考：f (x)的零点呢？,10,例3,证,结论得证.,11,证,例4,12,证,例5,13,如果函数f (x)满足：(1)在闭区间a, b上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，则至少存在一点x(a, b)内，使得,几何意义：,3. 拉格朗日(Lagrange)中值定理,14,证明,作辅助函数,15,例6,16,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,或,特别地,或,拉格朗日中值公式另外的表达方式：,17,推论1,证明,18,推论2,证明,即得结论。,19,例7,证,由推论1知,20,利用拉格朗日定理证明不等式,例8,证,21,例9,证,由上式得,22,例10,证,类似可证：,推论,23,4. 柯西(Cauchy)中值定理,设函数f (x)及g (x)满足条件： (1)在闭区间a, b上连续， (2)在开区间(a, b)内可导， (3)在(a, b)内任何一点处g(x)均不为零， 则至少存在一点x(a，b)内，使得,如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.,说明：,证略.,24,P148 习题四,练习：,25,第二节 洛必达法则,在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为,洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.,及,26,定理(洛必达法则),(证略),某去心邻域内有定义且可导,且满足下列条件：,27,说明：,5.洛必达法则可多次使用。,只能说此时使用洛必达法则失败,需另想它法；,28,例1,用“洛必达法则”求极限例题,练习:,比较:,因式分解，,29,例2,比较:,30,练习:,或解,等价无穷小替换,31,例3,32,例4,及时分离非零因子,33,例5,例6,34,例6,或解：,及时分离非零因子,35,例7,解,洛必达法则失效。,练习,不能使用洛必达法则。,解,极限不存在,？,？,36,二、其它类型的未定式,例8,解法：转化为 或 型不定式。,步骤:,37,例9,步骤:,38,步骤:,例10,39,例11,或解(重要极限法)：,40,例12,解,41,例13,解,所以,42,练习,解,43,解,例14,这是数列极限, 不能直接使用洛必达法则, 要先化为函数极限.,44,或解,例14,45,小结,46,3. 若 不存在时,不能断定原极限是否存在,此时法则失效,改用其它方法.洛必达法则并不能解决一切未定式的极限问题.,应用洛必达法则应注意的几个问题:,1. 应用洛必达法则时要分别求分子及分母的导数,切忌不要把函数当做整个分式来求导.,2. 洛必达法则可以累次使用,但必须注意,每次使用前需确定它是否为未定式.,4. 使用洛必达法则时,要灵活结合其它方法,如等价无穷小替换、凑重要极限、分离非零因子、恒等变形、换元等.,47,P148 习题四,练习：,48,第三节,函数的单调性,49,函数的单调性与导数符号的关系,观察与思考：,函数单调增加,函数单调减少,函数的单调性与导数的符号有什么关系？,50,函数单调增加时导数大于零；,观察结果：,函数的单调性与导数符号的关系,函数单调增加,函数单调减少,函数单调减少时导数小于零。,51,定理,52,证,应用拉格朗日定理,得,53,例1,解,例2,解,54,例3,解,55,例4,解,56,也可用列表的方式，,例4,解,57,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,注意: 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,称驻点,58,例5,证,可利用函数的单调性证明不等式,59,例6,证,综上所述，,60,由零点存在定理知，,例7,证,利用函数的单调性讨论方程的根,61,小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以证明不等式和确定某些方程实根的个数.,62,P148 习题四,练习：,63,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,第四节 曲线的上下凸性和拐点,64,曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向.,65,定义,下凸凹,上凸凸,66,67,观察与思考： 曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？,拐点,下凸,上凸,当曲线是下凸的时， f (x)单调增加。,当曲线是上凸的时， f (x)单调减少。,曲线凸性的判定,曲线下凸与上凸的分界点称为曲线的拐点。,68,定理,证略。,69,例1,解,70,例2,解,下凸,上凸,下凸,拐点,拐点,71,例3,解,拐点的求法：,1.找出二阶导数为零的点或不可导点；,2.若它两侧的二阶导数值异号,则为拐点；若同号则不是拐点.,注意：拐点要写出纵坐标。,72,例4,解,73,P148 习题四,练习：,74,一、函数的极值及其求法,第五节 函数的极值与最值,75,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,注：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.,76,定理1(极值的必要条件),由费马引理可知，,所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。,但反之不然，驻点不一定是极值点.,77,此外, 不可导点也可能是极值点,函数的不可导点也不一定是极值点，,78,这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一.,我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点.,下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点.,79,定理2(极值的第一充分条件),一阶导数变号法,80,定理3(极值的第二充分判别法),称为“二阶导数非零法”,(1)记忆:几何直观；,说明：,(2) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点；,81,例1,解法一,列表讨论,极大值,极小值,82,例1,解法二,83,例2,解,84,例3,解,85,例4,解,列表讨论,极大值,极小值,86,例5,解,注意定义域！,导数左负右正，,87,例6,解,两边关于x求导,得,对(1)式再求导，得,88,根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).,例7,解,(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点.,89,(1) 确定函数的定义域；,(4) 用极值的第一或第二充分条件判定.注意 第二充分条件只能判定驻点的情形.,求极值的步骤:,(3) 求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或 一阶导数不存在的点)；,90,二、函数的最值,极值是局部性的,而最值是全局性的.,91,具体求法：,92,例8,解,计算,比较得,93,在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述方法：,94,将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？,设小正方形的边长为x，,则方盒的容积为,例9,解,95,将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？,求导得,设小正方形的边长为x，,则方盒的容积为,例9,解,96,将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？,求导得,设小正方形的边长为x，,则方盒的容积为,解,例9,97,要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？,设底半径为r, 高为h，,总的表面积为,例10,解,即表面积最小.,即高与底面直径相等.,即为最小值点 .,导数左负右正，是极小值点，,98,例11,解,利用最值证明不等式,99,例12,解,分析 数列是离散函数,不能求导,应把n改为x,转化为连续函数,再求导.,利用对数求导法,得,导数左正右负，,100,经济应用举例,1.平均成本(AC)最低问题,例13,设成本函数为,则平均成本为,得驻点,此时平均成本和边际成本均为4.,一般,当平均成本最低时,平均成本与边际成本相等.,101,2.最大利润问题,例14,利润函数为,解,得驻点,102,一般,利润函数为,其中Q为产量,时,利润最大,其中MR和MC分别表示边际收益和边际成本(Marginal revenue, Marginal cost),“生产商为获得最大利润,应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平”.这是微观经济学的一个重要结论.,103,某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件商品的库存费为0.05元.如果年销售率是均匀的(即商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使生产准备费和库存费之和最小？,3.最优批量库存问题,例15,解,设分x批生产,则生产准备费和库存费之和为,得唯一驻点,104,P148 习题四,练习：,105,第六节 渐近线和函数作图,一、曲线的渐近线,1.水平渐近线,例如,有两条水平渐近线:,(平行于x轴的渐近线),106,例如,有两条竖直渐近线:,2.竖直渐近线,(垂直于x轴的渐近线),107,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,108,例1,解,109,110,二、函数作图,第一步,第二步,第三步,第四步,第五步,111,例2,解,非奇非偶函数.,列表,不存在,拐点,极小值点,间断点,112,C(-1, -2)，,E(2, 1) ，,D(1, 6)，,作出函数的图形.,F(3, -2/9) .,B(-