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2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较,都是,定义2.7.1,的无穷小。,2.7.1无穷小与无穷大,（无穷小）,小量，简称无穷小。,则称,如果,为,的无穷,例如，,注意：不要把无穷小量与很小的量混为一谈。,定理2.7.1（极限与无穷小量的关系）,证明略。,例如，因为,是无穷小；,因为,无穷小运算法则,时, 有,（1） 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,（定理2.7.2）,（2） 有界量与无穷小的乘积是无穷小,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,（3） 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,例1、,求,解:,利用定理 2.7.2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,例2.7.1,解:,都是,定义2.7.1,的无穷大。,（无穷大）,大量，简称无穷大。,则称,如果,为,的无穷,例如，,定理2.7.4（无穷小与无穷大的关系）,定理2.7.5（无穷大的运算性质）,若 y 为无穷小，且y不恒等于0，,若 y 为无穷大，则1/y 是无穷小。,（1）有限个无穷大的乘积是无穷大；,（2）无穷大与有界量之和是无穷大。,则1/y 是无穷大；,都是无穷小,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,2.7.2 无穷小的比较,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,设,是自变量同一变化过程中的无穷小,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,一些常见的等价无穷小量,当,sinxx,ex-1x,1-cosxx2/2,arctanxx,tanxx,ln(1+x)x,arcsinxx,例2.7.3,证明: 当,时,证:,定理2.7.6,证:,即,即,例如,故,定理2.7.7,设,且,存在 , 则,证:,例如,补例,求,解:,例2.7.4,求极限,解,sinxx，,1-cosxx2/2，,所以,例2.7
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