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第四章 微分中值定理与导数的应用,高等数学,第五节,4.5.1 曲线的凹凸性与拐点,一、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,定义,二、曲线凹凸的判定,定理1,例1,解,注意到,注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。,例2,解,三、曲线的拐点及其求法,1、定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2、拐点的求法,证,方法1:,例3,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例4,解,注意:,例5,解,凹、降,凸、降,拐点,极大值,拐点,凹、升,凸、升,例7,解,拐点,非拐点,4.5.2 渐近线,定义:,1.铅直渐近线,例如,有铅直渐近线两条:,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,注意:,例1,解,4.5.3 函数曲线的作图,一 利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,二、作图举例,例2,解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,作图,凹、降,凸、降,拐点,极大值,拐点,凹、升,凸、升,例3,解,偶函数, 图形关于y轴对称.,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,例4,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,极小值,四、小结,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,第五题图,练 习 题,练习题答案,1图,2图,二、,三、,例7,解,例8,解,四、小结,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变
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