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第三节 无穷小量、无穷大量,一.无穷小量及其运算性质,二. 无穷大量,一、无穷小量及其运算性质,简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.,定理,2. 函数的极限与无穷小量的关系,同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是无穷小量.,同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量.,3.无穷小量的运算法则,常数与无穷小量之积仍为无穷小量.,在某极限过程中, 以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为无穷小量.,在某极限过程中, 无穷小量与有界量之积仍是无穷小量.,证,证明,我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.,注意：,解,二. 无穷大量,2. 无穷大量与无穷小量的关系,( 无穷大量的倒数为无穷小量, x 0 ),( 无穷小量的倒数为无穷大量, x 0 ),则,在某一极限过程中,请自己根据定义自已进行证明.,定理,在某极限过程中, 两个无穷大量之积 仍是一个无穷大量.,在某极限过程中, 无穷大量与 有界量之和仍为无穷大量.,不是无穷大量,是无穷大量,两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?,考察,有界量与无穷大量的乘积,是否一定为无穷大量？,不着急, 看个例题:,有界量与无穷大量的乘积,是否一定为无穷大量？,不着急, 看个例题:,不一定再是无穷大量.,结论:,在某个极限过程中,等价无穷小必是同阶无穷小,但反之不真.,x 0 时的几个无穷小量的比较：,有何想法？,证,所以 1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) ., x 0 时,不可比较的无穷小.,不存在, 但不是无穷大,与 x 是,二. 关于等阶无穷小的性质和定理,1. 定理,定理,设在某一极限过程中,设在某极限过程中, , , 则 .,3. 定理,定理,无穷小量可以用其等价无穷小量替代.,定理告诉我们:,在计算只含有乘、除法的极限时,如果在加减法中用等价无穷小量替代, 则会产生错误:,将常用的等阶无穷小列举如下:,当 x 0 时,求,解,求,解,求,解,求,解,解,变量代换,四则运算,等价无穷小,解,连续两次使用等价无穷小替代.,等价无穷小替代
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