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题 目： 函数的微分 学 院： 数学与统计学院 专 业： 信息与计算科学 姓名、学号： xxx 20101910012 任课教师： xxx 时 间： 2010年秋季学期 摘 要 利用泰勒公式直接定义一元函数的高阶微分，避免了教材中用上一阶微分在定义下一阶微分的情况。再一次讨论了复合函数高阶微分不在具有形式不变性。此外，我还讨论了教材中没有的参数方程的微分。关键词：微分 高阶微分 参数方程函数的微分在教材中对高阶微分的定义是用一阶微分的微分定义二阶微分，用二阶微分的微分定义三阶微分，以此类推，得出函数的n阶微分为。而这种方法显得很繁琐，且感觉上也不是很好，为此引入一下定义。一、一元函数的高阶微分 定义1 设函数在点的某领域内有定义，给变量在处一个增量，且时，相应地函数有增量，如果其增量可表示为，其中A不依赖于，则称函数在点处一阶可微，并称为函数在点处的一阶微分，记作，即。可证 A=即。定义2 设函数在点的某领域内有定义，给变量在处一个增量，且时，相应地函数有增量如果其增量可表示为，其中A，B不依赖于，则称函数在点处二阶可微，并称，为函数在点处的一阶微分、二阶微分，记作，即，。可证即，。根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分定义3 设函数在点的某领域内有定义，给变量在处一个增量，且时，相应地函数有增量如果其增量可表示为，其中A，B不依赖于，则称函数在点处n阶可微，并称为函数在点处的一阶微分、二阶微分n阶微分，记作，即，。又根据函数在点的泰勒公式，得即，所以，。注： 1在泰勒公式中与是等价的。2因为是的高阶无穷小量，所以，在等式的右边加或减去一个都不会影响到的精确度。二、微分的运算法则1；2；3 ；4复合函数的微分 例 求的二阶微分。 解： 。对于一般函数，其n阶微分可表示为.对于复合函数的一阶微分，也可表示为，并称这种形式为一阶微分的形式不变性。但是，复合函数的高阶微分不在具有形式不变性。对于复合函数，有当且仅当=0时，函数具有形式不变性。此时，只可能有。而对于复合函数，只是的一种形式，即：在复合函数 中，二阶以上可微，就有。当时，有。而此时，有所以，复合函数的高阶微分不在具有形式不变性。注： 式中的一定三阶可微。三、参数方程的微分 在找到高阶微分的又一定义及讨论了复合函数的高阶微分后，我想讨论一下参数方程的微分。解参数方程的二阶微分。解：因为， 所以， ， 。有（1）、（2）可知参数方程和复合函数有相似的性质，即：参数方程也具有一阶微分的形式不变性和高阶微分不在具有形式不变性。例：设,求.解：因为， ，所以， ，。参考文献1 数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出
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