数学学论文毕业论文实数完备性基本定理等价性的证明.doc

实数完备性基本定理等价性的证明摘要 本文通过循环证明对实数完备性基本定理的等价性作出了证明.关键词 实数完备性基本定理 等价性 循环证明1 引在这一节，主要对本文所用到的定义，定理及推论作以介绍.定义 设闭区间列具有如下性质：（i）, ;（ii）=0,则称为闭区间套，或简称区间套.确界原理 设 S为非空数集.若 S有上界，则 S必有上确界；若 S有下界，则 S必有下确界.单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限.区间套定理 若是一个闭区间套，则在实数中存在唯一的一点 ，使得即 推论 若 是区间套所确定的点，则对任给的 0，存在N 0，使得当nN 时有.有限覆盖定理 设H为闭区间 的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖 .聚点定理 实数轴上任一有限无界点集 S至少有一个聚点.柯西收敛准则 数列 收敛的充要条件是：对任给的0 ，存在正整数N，使得当n,mN 时有 .2 六大基本定理等价性的证明本节就是对六大基本定理等价性的证明.首先列出证明过程的基本框架：确界原理 单调有界定理 区间套定理 柯西收敛准则 聚点定理 有限覆盖定理下面就是这个循环证明的过程.1 由确界原理证明单调有界定理证 不妨设为 有上界的递增数列. 由确界原理，数列有上确界.记a=sup . 下面证明 a就是 的极限 . 事实上，任给 0 ，按上确界的定义，存在数列 中某一项，使得a- . 又由 的递增性，当nN 时有a- .另一方面，由于a是 的一个上界，故对一切, 都有aa+. 所以当nN 时有a-0 ，使得 A .假设 中任意点都不是A 的聚点，则对任意一点x, 必存在相应的0 使得在 中至多有A 的有限个点. 记 ，则H 为A 的一个开覆盖 .由有限覆盖定理，在H 中可以找到有限个开区间覆盖. 记为 ，从而更能覆盖A . 因内至多含有A 中有限个点，从而 A 为有限点集，与假设“ A 是有界无限点集”矛盾 . 故区间 中至少有一个集合 A 的聚点，即集合A 至少有一个聚点.5 由聚点定理证明柯西收敛准则证 先证条件的必要性：设 ，则对任意给定的 0, 有一正整数N ，当k.N 时，有 从而当m, nN 时，有 其次，证明条件的充分性：设数列 满足条件：对任给正数 ，总存在某一个自然数N ，使得当m, nN 时，都有 .取 ，则存在自然数 ，当n 时，有 ,从而 ,令M=max ,则对一切 有 ,即 有界.下证 有收敛子列 .若E= 是有限集，则 必有一常子列；若E 为无限集，则由聚点定理， E有一个聚点 A. 由聚点定义可证，存在 ，使 . 总之， 有收敛子列 .设 ，则对任给正数 ，存在N ，当k, m, nN 时，有 , .所以当 nN（任取 kN ，使 ）时，有 .故 .6 用数列的柯西收敛准则证明确界原理证 设S 为原理非空有上界数集 . 由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得 为S 的上界，而 不是S 的上界，即存在 S ，使得 .分别取 , 则对每一个正整数n ，存在相应的 ，使得为S 的上界，而 不是 S 的上界，故存在，使得 . (5)又对正整数 m, 是S 的上界，故有 结合（5）式得 ；同理有 . 从而得 .于是，对任给的，存在N0 ，使得当 m ,n N 时有 .由柯西收敛准则,数列 收敛 .记 (6)现在证明就是S 的上确界 .首先,对任何aS 和正整数n 有a,由(6)式得a,即是的S 一个上界 .其次, 对任何0 ,由 及(6)式, 对充分大的n 同时有 .又因 不是S 的上界, 故存在, 使得. 结合上式得 .这说明为S的上确界 .同理可证：若S 为非空有下界数集,则必存在下确界 .参考文献1 华东师范大学数学系 编 数学分析 高等教育出版社 2001年6月第3版 2 复旦大学数学系 陈传璋等 编 数学分析 高等教育出版社 1983年7月第2版3 杨熙鹏 邵子逊 刘颖植 主编 数学分析习题解析 陕西师范大学出版社4 钱吉林等 主编 数学分析题解精粹 崇文书局 2003年8月第1版 The Proof on the Equivalent Relations in the Foundamental Theorems of Completeness of Real NumbersAbstract In this paper , we prove to the equivalent relations in the foundamental theorems of the completeness of real numbers by cyclic pro