物体在有心力场中运动的分析毕业论文.doc

本科毕业论文题目：物体在有心力场中运动的分析 目 录1.引 言 1 2.有心力基本概念及它的性质： 1 3.推出动力学方程 2 4.用开普勒定律推出引力公式 6 5.两体问题 7 6.结论 9 7.参考文献 10 8.致谢 11 物体在有心力场中运动的分析摘 要 有心力场中的运动是经典力学和天体力学的一个重要问题.本文概括地介绍了有心力及其有关它的一些重要结论.首先研究质点和质点系在有心力作用下的运动，有心力的基本性质.用动力学方法推导关于有心力的公式,及在开普勒三定律的基础上推导万有引力方程.,介绍有心力场在物理学中的应用。 关键词 有心力；动力学；开普勒定律；两体问题。本科毕业生毕业论文1.引 言经典力学的发展是与对天体运行的观察和研究分不开的.早在17世纪初叶，开普勒（J.Kepler）通过对太阳系各行星运动的观察，总结出行星运动的三个定律，于1620年发表在论天体之协调（On Celestial Harmonics）一书中.在此基础上，牛顿建立了著名的万有引力定律.行星绕恒星的运动属于所谓“有心运动”一类的运动.有心运动是一类常见的运动，天体的运行，原子核外的电子运动都属于这类运动.火箭和人造卫星的发射和运行都离不开对有心运动的研究.首先我们介绍有心力的基本概念及它的性质，然后利用开氏三定律推导出引力公式并对公式进行分析.2.有心力基本概念及它的性质： 一般来讲，如果运动质点所受力的作用线始终通过惯性系中某一个固定点，则我们就说这个质点所受的力是有心力，此固定点称为力心.有心力的量值，一般是矢径（即质点和力心之间的距离）r的函数，而力的方向则始终沿着质点和力心的连线，凡是趋向定点的是引力，离开定点的是斥力。行星绕太阳运动时受到的力，电子饶原子核转动时受到的库仑引力，近似看做有心力.有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一.有心力构成的力场称为有心力场.我们平时假定力心不动研究有心力场问题.这时以力心作为坐标质点,变成一个平面问题.质点受变力作用而沿曲线运动时，变力所作的总功为 （1） 在平面极坐标系中，力所做的功为 （2） 因为有心力只具有径矢方向的分量,而横向分量为，故质点由A点运动到B点时有心力作的功是 (3)这个顶积分的值只取决于起点和终点的矢径，与质点运动的路径无关，这就证明了有心力是保守力.而平面力,力和位置坐标相互平行且应满足,那么角动量守恒.这是有心力场的一个特点，根据有心力场的特点，下面推导有心力场的动力学方程及加讨论。3.推出动力学方程关于有心运动我们可以通过求解角动量方程，先得到以时间t为参量的轨道参量方程，然后削去t得出轨道曲线方程。但也可以一开始就在运动方程中消去时间参量t得到轨道微分方程，然后得到轨道曲线方程。由式： 得： (4)令 ，则 (5)并(5)式代入(1)式 对再求导及整理得： （6）因 （7）这个方程就是我们要推导出的动力学方程，是二阶非线性微分方程。对此求解可得，从而得到质点的轨道方程下面用动力学方程（7）来研究行星的运动.近似处理：行星只受到太阳引力的作用，而忽略行星之间的相互作用. 行星的运动是在平方反比引力作用下的运动，则 （8）令，将 （9）其中代入（7）式 又令，则 （10） 可以看以上运动方程为谐振动方程, 其解为 （11）（其中 积分常数）则 （12）比较,并令,及,.则以上关系的方程表示行星绕太阳运动时作圆锥线曲线运动.如图所示.有 （13） 离心率e决定轨道形状,下面我们进行定量分析.（1） B点：近日点则对点 轨道是椭圆（2）, , , 轨道是抛物线（3） 对B点 故 轨道是双曲线如何判别圆锥线的类型？下面再进一步研究运动轨道，用能量E来判据轨道的类别.利用下面式 （14）其中因 又,此关系代入以上能量方程得 （15）又考虑和常量,及令求导 （16）把（16）代入（15）得： 即 （17）可以看，通过能量来判断轨道的形状。 符合椭圆轨道（束缚运动） 符合抛物线轨道（无限运动） 符合双曲线轨道（无限运动）可见，能量E是轨道类别的判据.以上讨论以为太阳静止不动，实际上太阳也有运动，那么这种情况下引力公式的表达式如何？下面进一步讨论此问题。4.用开普勒定律推出引力公式下面我们从开普勒定律推出万有引力定律.开普勒以太阳为中心的说法,提出了下列三条关于行星运动的定律.第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上.第二定律：行星和太阳之间的联线（矢径），在相等时间所扫过面积相等.第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比.1）由第二定律常量 (18)质点扫过的面积为,两边除得 (19)常量，表示行星绕太阳运动时的角动量,角动量是守恒.可以看出行星所受力对太阳的力矩为零.结论1：行星所受力是有心力，太阳在力心.（2）由第一定律，轨道为椭圆,则行星轨道方程为或 求导 代入比耐公式 有心力为 (20)(负号说明是引力 )这既然说明行星所受引力与距离平方成反比,但是与引力公式相比较,式(9)中的和都与行星有关,而是一个与行星无关的常数.为了说明的物理含义实际问题进行再进一步讨论。根据以上讨论开普勒的三定律具有近似性，但它的近似程度到底又多大？下面用两体问题来解释。5.两体问题根据以上讨论,开普勒定律具有近似性,其中一个原因就是太阳和行星相互吸引,两者都有加速度,太阳并不是静止不动的.太阳和行星都有运动,显然属于质点组的运动问题.我们现在就对这个问题作进一步的研究.太阳对惯性坐标系的动力学方程为 (21)其中点代表某一行星,是行星对某一贯性坐标系原点的位矢,而是太阳对同一坐标系原点的位矢.行星对同一坐标系的运动方程为 (22)为了求行星对太阳的相对运动方程,将式(21)乘以,式(22)乘以,然后由后者减去前者，得 （23）因，所以式（24）变为消去得 （24）式中, 是行星的质量, 是行星对太阳的位矢, 是行星相对于太阳运动时的加速度,而右式则是行星所受的力.这时可认为太阳是不动的,但它的质量却不等于,而增大为.所以对所有行星并不一样.式(24)可写为 (25)其中这时太阳质量仍为,但行星质量则不等于m，而减小为或，我们通常把叫做折合质量.从(25)式出发,我们就可以对开普勒第三定律进行修改. 对行星: 对行星： 两者相除，得 (26)根据开普勒第三定律,式(26)的右方应该等于1.故开普勒第三定律只具有近似性质,只在及都远远小于时才是正确的.实际上，太阳系中最大的行星是木星，它的质量也不过是太阳质量的.故如今下角标1代表木星，下角标2代表太阳系中其他行星，因而之比不会超过，与1相差甚微。故开普勒第三定律虽只具近似性质，但是近似程度却是相当高的.，与1相差甚微。故开普勒第三定律虽只具近似性质6.结论以上讨论可以看有心力是保守力，它主要特点是质点所受的有心力场的运动时角动量守恒，在普通物理教学中推导出的万有引力公式是以太阳静止不动而得出的公式，其中 ， k是对其它行星无关的常量，在本文中利用开氏三定律推导出的引力公式中出现的 和 与行星有关的量，那么理论力学方法来推导的引力公式有所不同，在这里太阳还是静止不动的，为解决以上差距而引入了两体问题来解释近似性，虽然这样但是近似性还是相当高。7.参考文献1周衍柏 理论力学教程 高等教育出版社 1986年 2陈世民 理论力学简明教程 高等教育出版社 2001年3刘连寿 理论物理基础教程 高等教育出版社 2003年4张建树、孙秀泉，张正军 理论力学 科学出版社 2005年5 郭士坤 理论力学（上，下） 高等教育出版社 1982年6 胡慧玲，林纯镇，吴惟敏 理论力学基础教程 高等教育出版社