线性代数第3章习题解答.ppt

Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,一、主要内容,罗尔中值定理：,(3) f (a)= f (b) ;,减少一个条件,推广：,1.,几何解释： 曲线 y=f(x) 至少有一条水平切线。,掌握四个微分中值定理,拉格朗日中值定理：,(3) f (a)= f (b) ;,(3) f (a)= f (b) ;,1,.,几何解释： 曲线 y = f (x) 至少有一条切线平行于 连接曲线端点的弦。,.,.,柯西中值定理：,1,1,.,曲线 至少有一条切线平行于连接曲线端点的弦。,几何解释：,曲线的参数式方程, x为参数.,.,.,.,泰勒中值定理：,.,.,.,.,用( )的n次多项式逼近 f ( x) .,o,o,.,.,.,2. 常用,麦克劳林公式：,.,.,.,.,.,.,.,5、洛必达法则,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,注意：洛必达法则的使用条件.,用洛必达法则求未定式极限应注意什么？,1o. 及时求出已定式的极限.,2o. 需要先验证条件.,.,应该怎么做？,.,6、导数的应用,定理,(1) 函数单调性的判定法,定义,(2) 函数的极值及其求法,定理(必要条件),定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,定理(第一充分条件),定理(第二充分条件),求极值的步骤:,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),(3) 最大值、最小值问题,实际问题求最值应注意:,1)建立目标函数;,2)求最值;,(4) 曲线的凹凸与拐点,定义,定理1,方法1:,方法2:,.,(5). 给定函数 y = f (x) ,求其铅直渐近线及斜渐近线.,.,.,.,(6) 函数图形的描绘,利用函数特性描绘函数图形.,(7).求极限的方法：,（1）基本方法；（2）利用重要极限；（3）利用函数的连续性； （4）使用LHospital法则；（5）利用等价无穷小代换；（6）利 用极限存在准则；（7）利用微分中值定理（包括带Peano型余项的 Taylor公式）；,(8)不等式的证明方法：,（1）初等方法（略）；（2）利用函数的单调性；（3）利用 微分中值定理（包括Taylor公式）；（4）利用函数的最大最小值； （5）其它方法。,二、课堂练习,1.填空题：,2.选择填空题,（A）有极大值； （B）有极小值； （C）无极值； （D）不能判定是否取得极值。,解 由极限的保号性知，,（2）方程 在区间 内 .,（A）无实根； （B）有惟一实根； （C）有两个实根； （D）有三个实根。,解 令,（3）设曲线方程为 则 .,（A）曲线没有渐近线； （B） 是曲线的渐近线； （C） 是曲线的渐近线； （D） 是曲线的渐近线。,解 因为 所以 是曲线的水平渐近线。,（4）设 和 在 上都可导且恒正 ，若 则当 时,不等式 .,4.在直线 上求一点，使其与点 和点 的距离平方和为最小。,解 设 是直线上任意一点，则该点到 两点 之距离的平方和为 化简得,5.设 在 上连续，在 内 .证明：,解 作辅助函数 则,7.证明不等式：,证 因为 ，故原不等式等价于,令 , 则 在 上连续。 因为 即 在 上严格递减,故 有,即,9.证明方程 恰有两个不同的实根。,另证：,*11 设 求,试分别用Rolle定理、Lagrange和Cauchy定理证明之。,证用Rolle定理：令 则,由Rolle定理知，,即,证用Rolle定理：令 则,证