重积分的概念与性质(29).ppt

第一节 二重积分的概念和性质,一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 三、小结 练习题,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,1、引例：曲顶柱体的体积,一、二重积分的基本概念,曲顶柱体,（1）底是 x o y 面上的有界闭区域；,（2） 侧面是以 D 的边界 曲线为准线而母线平行 于 z 轴的柱面；,（3）顶是曲面 z = f ( x , y ) ，,计算曲顶柱体体积的一般方法：,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,1：用一组曲线网将 D 任意分成 n 个小闭区域：,将曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体,以,表示以,为底的第 i,个小曲顶柱体的体积,2：近似计算,3：取极限求 V 的精确值,以,和 V 的体积,表示,内任意两点,间距离的最大值，称为,的直径,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块（ n），,取典型小块，将其近似看作均匀薄片，,薄片总质量的近似值为,每个小块的质量近似为,薄片总质量的精确值为,定义：设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数：,（1）：分割 ：用一组曲线网将 D 任意分成 n 个小区域,（2）：作和 ：在每个小区域,并作和,（3）：取极限：令,上任取一点,作乘积,为,的直径，并记,如果当,则称此极限为 f ( x , y ) 在 D 上的二重积分，记为,时，上述和的极限存在，且与小,区域的分法及点,的取法无关，,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,（1）如果 f ( x , y ) 在 有界闭区域 D 上连续，则 f ( x , y ) 在 D 上一定可积。,（2）如果 f ( x , y ) 在 D 上可积，则该积分与 D,因此，在直角坐标系中，用平行于 x 轴和 y 轴的 两组直线分割 D ，如图所示,的分法和分点,的取法无关，,几点说明,（3）几何意义：当 f ( x , y ) 0 时，二重积分 表示曲顶柱体的体积；,当 f ( x , y ) 0 时，此时曲顶柱体位于 x 0 y 平 面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分 表示的是曲顶柱体体积的相反数。,如果 f ( x , y ) 在 D 上有正有负，此时将 x o y 面 上方的曲顶柱体体积取为正，x o y 面下方的曲 顶柱体体积取为负，则 f ( x , y ) 在 D 上的二重 积分即为这些曲顶柱体体积的代数和。,（4）二重积分的物理意义：平面薄片的质量,（二）二重积分的性质,性质1：常数因子可以提到积分号外面，即,性质2：和或差的积分等于积分的和或差，即,（二重积分与定积分有类似的性质）,性质3：二重积分的可加性：如果积分区域 D 被,性质4：如果在区域 D 上总有，f ( x , y ) 1 , 是 D 的面积，则,一曲线分成两部分,和,，则,几何意义：高为 1 的平顶柱体的体积,性质5：如果在 D 上总有,则有不等式,特殊地，由于,所以又有不等式,解,性质6：设 M 、m 分别是 f ( x , y ) 在 D 上的最 大值和最小值， 是 D 的面积，则,因为,所以由性质 5 有,由性质 1 有,由性质4 有,（二重积分估值不等式）,解,解,性质7：二重积分的中值定理：设 f ( x , y ) 在 D上连续， 是 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 ( , ) ， 使得,因为当 0 时 ，由性质 6 有,由连续函数的介值定理知，在 D 上至少存在一点 ( , ) ，使得,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,四、小结,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在