算法案例(第一课时)sakura.ppt

算 法 案 例,(第一课时),孙子算经中的孙子问题,秦九韶数书九章的“大衍求一术”,45世纪,中国剩余定理,南宋时期,意大利学者斐波那契的算术,1202年,欧拉发表关于同余式的解法,高斯的巨著算术研究,1734年,1801年,早500多年,1、求两 个正整数的最大公约数,（1）求25和 35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数,2、求8251和6105 的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为 5,所以，49和63的最大公约数为7,辗转相除法 （欧几里得算法）,观察用辗 转相除法求8251和6105的最大公约数的过程,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=61051+2146,结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=21462+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,为什么呢？,思考：从上述的过程你体会到了什么？,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m = n q r,用程序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m = n,n = r,r=0?,是,否,思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,九章算术更相减损术,算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给顶两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,例3 用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,986335 633528 35287 28721 21714 1477,所以，98和63的最大公约数等于7,欧几里得辗转相除法找出a,b的最大公约数的步骤是: （1）计算ab的余数r,若r=0,则b为a,b的最大公约数； （2）若r=0,则把前面的除数b作为新的被除数,把r作为新的除数,继续运算,直到余数为0,此时的除数即为a,b的最大公约数.,更相减损术找出a,b的最大公约数的步骤是 （1）任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。 （2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。,比较辗转相除法与更相减损术的区别,（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到,回顾反思,辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法运算，较小的数就是最大公约数 更