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第十三章 重积分,一、曲顶柱体的体积 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、二重积分的计算 五、二重积分的换元 六、曲面的面积,第一节 二重积分,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,一曲顶柱体的体积,曲顶柱体,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、 求和、取极限。,步骤如下：,1. 分割,把R任意分成n个小区域,其中 表示,第k个小区域，设其面积为,对应的小曲顶柱体体积为,2.取近似,在每个小区域 上任取一点 ,则,此分法记为 ,3. 求和,4. 取极限,设n个小区域的直径分别为,称 是曲顶柱体的体积,二、二重积分的概念,定义,设 是有界闭区域R上的有界函数,任意分法T将闭区域R分成n个小闭区域：,设 表示第k个小闭区域,的面积，在每个 上任取一点,作乘积,并作和,令,如果当 和式的存在极限 ，记为,则称此函数 在闭区域R上可积,有,是二元函数 在R的二重积分，记为,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,面积微元,曲顶柱体的体积,大和，小和，振幅的定义,设 与 分别是函数 在 的 上确界与下确界，则,小和,大和,振幅,二重积分存在的充分必要条件,定理1 函数,在有界闭区域R可积,证明,已知函数 在R可积，设二,重积分是I,即,有,或,又已知小和 与大和 分别是积分和,在R的下确界与上确界,或,则,设,有,由已知条件，当 时，有,设 ，有,由已知,对积分和,有,由上面两个不等式， 有,可得,即函数 在有界闭区域R可积,定理2 若函数,在有界闭区域R内,连续，则函数 在R可积。,证明,由连续函数的性质,函数,在R一致连续，即,有,（ 表示 的面积）,将R分成n个小闭区域,函数 在 必能取,到最大值 与最小值 ，,即存在两点,使,与,则,有,函数 在R可积,定理3 若函数,在有界闭区域R内,则函数 在R可积。,有界，间段点只分布在有限条光滑曲线上,二重积分的性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,性质,当 k 为常数时，,性质 若函数 与 在R都可积，则函数,在R也可积，且,性质,对区域具有可加性,没有公共的内点时,有,性质,若 为R的面积，,性质,若函数 与 在R上可积，,则有,特殊地,且对,性质 设 、 分别是 在闭区域R上,（二重积分估值不等式）,的最大值和最小值， 为R的面积，则,性质 设函数 在有界闭区域R上,（二重积分中值定理）,为R的面积，则在R上至少存在一点,使得,连续，,证明,由连续函数的性质，在R上必存在最大值,与最
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