网络流最大流算法.ppt

Network Flow,Presented by,Network Flow,基本性质： 对于网络(G,u,s,t) 1、容量限制(Capacity Constraints):F(x,y) = C(x,y) 2、流量守恒(Flow Conservation):F(v,x) = F(x,u) 3、斜对称性(Skew Symmetry): F(x,y) = -F(y,x) 讨论的前提： G为简单有向图 网络(G,u,s,t)中所有容量均为整数 最大流(max-flow)问题，就是求在满足网络流性质的情况下，源点 s 到汇点 t 的最大流量。,FordFulkerson algorithm,Definition： 1、剩余图(residual graph)： 2、剩余容量(residual capacity)：,FordFulkerson algorithm,Definition： 3、一条f可扩路(the augmenting path)：剩余图中的一条s-t路 4、给定一个流f及剩余图中的一条路(或圈)P，沿P使f扩充r：对每一个eE(P) 若eE(G)，则令f(e)增加r； 设e0E(G)，若e为e0的反向边，则令f(e0)减小r 注：此处的路径P不一定是可扩路,FordFulkerson algorithm,输入：网络（G、u、s、t）及各边容量 输出：一条最大值的s-t流f 算法描述： 1、初始时令所有边的流量f=0； 2、求出剩余图(residual graph) ，并在 中找一条可扩路(the augmenting path)P。若无可扩路，则终止； 3、算出P路中各边剩余容量的最小值r，并沿P使f扩充r，转2；,Maximum Flow-Minimum Cut Theorem,Definition： 1、s-t流：指满足如下条件的流： a、源点流出量0 b、除s、t点外，图G中的所有点流量守恒 注：此处的s-t流不单指图中特定的s-t路 s-t流的值：源点s的流出量； 2、s-t割：即点集S指向点集T（此处T=V(G)X）的边集，其中sS且tT 割的容量：各边容量之和 最小s-t割：在G中关于u具有最小容量的s-t割,Maximum Flow-Minimum Cut Theorem,Definition：,Maximum Flow-Minimum Cut Theorem,任一个网络(G,u,s,t)中，最大流的流量等于最小割的容量 证明： 1、任意一个流小于等于任意一个割(S,T)，即value(F) = cap(K); 又可证(S,T)中每条边的f都饱和，而(T,S)中每条边的f都为零，故value(F) = cap(K) = cap(K) 综上，value(F) = cap(K),Theorem,网络N(G,u,s,t)中的可行流f是N的最大流当且仅当N中不存在f可扩路 必要性：若有可扩路P，沿P使f扩大即可 充分性：设网络中不存在可扩路 令S = vV(G)|从源s到v有f可扩路s，则与最大流最小割定理同样可证K = (S,T)是网络中的一个割，且value(f) = cap(K) 设F为最大流，K为最小割，则value(f) = value(F) = cap(K) = cap(K) 故f即为最大流，K即为最小割,FordFulkerson算法的劣势：,EdmondsKarp algorithm -最大流问题的第一个多项式时间算法,与FordFulkerson算法相比，改进之处在于第二步中P路径的选择，与其任选，不如选最短（边数最少） 算法步骤： 1、令所有边的流量f=0； 2、在 中找条最短可扩路P，若无，则止； 3、算出P路中各边剩余容量的最小值r，并沿P使f扩充r，转2； 复杂度： EdmondsKarp可在O(m*m*n)内得解 EdmondsKarp算法中无论边容量多大，最多增流m*n/2次（m为边数，n为点数） 每次增流用BFS最大为O(m),Dinics algorithm,Definition： 分层图(level graph) 首先，分层图是基于剩余图的 其次，分层图会对所有顶点标号（与s的距离） 最后，分层图中只存在这样的剩余边(u,v)：dist(v)=dist(u)+1，不符合这一规律的边全部删去,Dinics algorithm,Definition： 阻塞流(blocking flow)： 网络(G,u,s,t)对应的分层图中所有可扩路的并，即为阻塞流,Dinics algorithm,算法步骤： 1、令所有边的流量f=0； 2、构造剩余图的分层图(level graph) 3、在分层图中求一个阻塞的s-t流(the blocking flow)f，若f=0，则止 4、用f对f扩充，转2 复杂度：在一定基础上可达O(mn log n)，其中，n为点数、m为边数（详见课本153）,Dinic算法的Example,Dinic算法的Example,Fujishige algorithm,传说中的弱多项式算法 对简单有向图G以及整容量可在O(mn )时间内正确求解最大流问题，其中n为点数、m为边数、u max为最大边容量（详见课本153）,Fujishige algorithm,Fujishige algorithm,简单粗暴的说： 1、每一次迭代都从s出发（s即v1），按当前的最大量（）往t流 a、只能往前流（v1v2v3），若到达t点，转2 b、若途经某边剩余容量，则缩减（缩小一半向下取整），然后重新迭代（在对应剩余图的基础上除了啥也没变）。注：若=0，则终止 2、从s出发的流成功到达t（假设为v6） 沿途经过的顶点按顺序为：s(v1)-v2-v3t(v6) 沿途经的边使流量f扩充，得到新的剩余图，转1,Pushrelabel maximum flow algorithm（推流-重标算法）,Definition： 1、超出量(Flow Excess)：流入-流出 2、活动点(active)：除s、t外，流入流出的点（即超出量0的点）,Pushrelabel maximum flow algorithm（推流-重标算法）,Definition： 3、距离标号(distance labels, or heights): a、h(s)=n,h(t)=0；（s和t的标号是固定的） b、剩余图中的所有边(u,v)，有h(u)=h(v)+1； 4、容许(admissible)边： 剩余图中的边(u,v)，且h(u)=h(v)+1；,Pushrelabel maximum flow algorithm（推流-重标算法）,算法步骤： 1、令s的出边满流，其余边f=0（也可不置零） 2、画出剩余图，令s的高度(height) h(s)=n，其余点h(v)=0 3、若有活动点，执行： 设v为活动点： v点有容许边e，则push(e) v点无容许边，则relabel(v) Push(e) 在v点的