《元微分学初步》PPT课件.ppt

计算机数学基础,授课教师：林四海 联系方式：TEL： Q Q： 254639066第2章 一元微分学初步,本章主要内容,2.1 函 数,本节内容 2.1.1 函数的概念 2.1.2 复合函数与初等函数,区间与邻域 数学中，某些指定的数集在一起就成为一个数集。 显然，数集是关于数的集合。 常用的数集及其代号是：自然数集N （包括0和所有正整数） 、整数集Z、有理数集Q和实数集R。 其中，涉及最多的是实数集R。 区间是R的一个连续子集。 例如： a,bx|axb 、(a,b)x|axb 、(,)R,2.1.1 函数的概念,为点 的邻域，记作 ；点 和数分别称为,设 与是两个实数，且0，数集 称,这个邻域的中心和半径。,数集 称为点 的空心邻域，记作 。,邻域和空心邻域在数轴上的表示见下图。,邻域,定义1-1 设x和y是两个变量，D是R的非空子集，如 果对于每一个数xD，变量y按照某种对应法则有 惟一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作 yf (x) 并称变量x为该函数的自变量，变量y为因变量， f 是函数中表示对应法则的记号，D是函数的定义域， 也可以记作D(f )，数集 Wy|yf (x), xD 为函数的值域，也可以记作 Rf 或 f (D)。,函数,表示函数的方法有解析法（也称公式法）、图像法、 表格法等等。,还需要指出，函数可以含有一个或多个自变量。 含有一个自变量的函数称为一元函数。 含有多个自变量的函数称为多元函数。,对于自变量x取定义域中某一定值x0，函数yf (x)的,相应值叫做当xx0时的函数值。通常用记号f (x0)，,或 ，或 ，或 y(x0) 等表示。,函数的定义域,函数的定义域就是指使函数有意义的自变量x的取值范围。 判断函数有意义的方法有下列几种：,分式的分母不等于零；,偶次方根式中，被开方式大于等于零；,含有对数的式子，真数式大于零；,反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；,分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；,练习：求下列函数的定义域,例1 求下列函数的定义域,定义1-2 设函数yf (x)在区间I内有定义。如果存在 正数M，使得对任意的x，均有 | f (x) | M 则称函数yf(x)在区间I内是有界的。M为yf (x)在 区间I内的一个界。如果不存在这样的常数，则称 函数yf (x)在区间I内是无界的。 有界函数的图像在区间I内被限制在yM和yM 两条直线之间。,函数的性质,1、有界性,2、奇偶性,奇函数的图像关于原点对称。 偶函数的图像关于 y 轴对称。 学过的函数中，奇函数有yx、ysinx、ytanx等， 偶函数有yx2、ycosx等。 而y2x和ylgx既不是奇函数，也不是偶函数。 研究函数奇偶性的好处在于，如果一个函数是奇函数（或偶函数），则只要研究自变量大于等于零的一半就可以推知全貌。,定义1-4 设函数yf (x)的定义域为D。如果存在常数 T0，使得对任一 ，都有 ，且等式 一定成立；则称函数yf (x)是周期函数，T 称为该 函数的周期。,周期函数的周期通常是指它的最小正周期。 例如，ysin x和ytan x都是周期函数， 前者的周期是2，后者的周期是。,3、周期性,定义1-5 设函数yf (x)在区间I内有定义。如果对 任意的 ，且 x1x2 时，均有 f (x1)f (x2) 则称函数yf (x)在区间I内是单调增加的。 如果在同样条件下恒有 f (x1)f (x2) 则称函数yf(x)在区间I内是单调减少的。 单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。,4、单调性,定义1-6 设函数yf (x)的定义域为D，值域为Rf 。若对 每一个 ，都有惟一确定的 满足f (x)y， 那么就可以把y作为自变量，而x是y的函数。 这个新的函数称为yf (x)的反函数，记作 yf 1(x) 这个函数的定义域为Rf ，值域为D。 相应地，函数yf (x)称为直接函数。,反函数,显然，如果把反函数的图像和它的直接函数的图像画在同一个 坐标系中，则它们的图形是关于直线 yx 为对称的。,例 求 ylog3(2x3) 的反函数。,若函数yf (x)在某个定义区间上单调增加 或单调减少，则它在该区间上必定存在反函数。,实际上，并不是任何函数都有反函数的。 那么，什么样的函数存在反函数呢？,解： 从方程 ylog3(2x3) 中解出x为,则所求反函数为,常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 和反三角函数6类是最常见、最基本的函数，这些函 数称为基本初等函数。 基本初等函数是构建复杂函数的基础。 复合函数 对于函数ysinx，如果令xt ，并将它代入 ysinx ，就可以得到函数ysint 。 可以看成由ysinx和xt复合而成。,2.1.2 复合函数与初等函数,定义1-7 设函数yf (u)的定义域是D1，函数u(x)的 定义域是D2，当x在的定义域D2或其中一部分取值时， u(x)的函数值均在yf (u)的定义域D1内。对于这样 取定的x的值，通过u有确定的值y与之对应，从而可以 得到一个以x为自变量， y为因变量的函数，这个函数 称为由函数yf(u)及u(x)复合而成的复合函数，记作 yf (x) 而u称为中间变量。,复合函数,复合函数的复合过程 u(x) yf (u) yf (x),中间变量,关于复合函数，需要说明一点： 不是任何两个函数都可以复合成一个函数的。 例如，y=arcsinu与u=x2+8就不能复合成一个函数。 因为由函数u=x2+8确定的u的值域是8,+)，不在 函数y=arcsinu的定义域内。 因此，求复合函数的定义域时，要考虑构成复合函数的所有基本初等函数都有意义。,例 指出下列各函数的复合过程 （1）T ln(tan) （2） （3） （4）,解：,是由 和 复合而成的,是由 和 复合而成的,是由 和 复合而成的,是由 、 和 复合而成的,初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运 算所构成并能用一个式子表示的函数，称为初等函数。 例如， y sin3x 、 u sin(x) （、是常数） 都是初等函数。 凡不能用一个式子表示的函数都不是初等函数。 一般情况下，分段函数不是初等函数，含有绝对值 符号的函数一般也不是初等函数。,2.2 极 限,本节内容 2.2.1 数列的极限 2.2.2 函数的极限 2.2.3 无穷小量与无穷大量 2.2.4 极限的计算 2.2.5 函数的连续性,研究函数变化的基本工具是极限的方法。极限的概念是微积 分学中最基本的概念，后面将要介绍的函数的连续性、导数、 定积分等概念都要以极限为基础。 两千多年前，我国古人就有了初步的极限概念。公元263年， 我国数学家刘徽根据朴素的极限思想先后计算了圆内接正6边 形、正12边形、正24边形、正48边形、的面积，他算出 的圆周率是3.14（3072边形 ），这已经是很好的近似值了，非常 了不起。,数列是按照某种法则产生的一系列数的依次排列。 无穷数列 x1, x2, xn,（常简记为xn）可以看作自 变量为正整数n的函数，即xnf (n) 。因此，数列的 极限是一类特殊函数的极限。 定义1-9 对数列xn ，如果当n无限增大时， xn无限接 近一个常数a ，那么a 就称为数列xn的极限，或称数 列xn收敛于a ，记为,2.2.1 数列的极限,或 xna(n),如果数列没有极限，就说数列是发散的。 如果一个数列有极限，则此极限是惟一的。 定义1-9中“如果当n无限增大时，数列xn无限接 近一个常数a”的实质是：随着n的无限增大，xn与 常数a的距离| xn a|可以任意小，即要多小都可以 有多小（不排除数列的某些项取常数a的可能）。,例 根据极限的定义，判断下列各数列是否有极限， 对于收敛的数列指出其极限： （1）1,2,3,n, （2） （3）1,1,1,(1)n1, （4） （5）,解：将上述数列逐项在数轴上表示出来，如下列图所示 （1）1,2,3,n, （2） （3）1,1,1,(1)n1, （4） （5）,1、自变量趋向无穷大时函数的极限 对函数 ，当|x|无限增大时，对应的函数值y 无限接近常数0（参看右图）， 这时就称 以0为极限。,2.2.2 函数的极限,定义1-10 设函数yf(x)对绝对值无论怎样大的自变量 都有定义，如果当|x|无限增大（即x ）时，函数 f (x)无限接近某个常数A ，那么A就称为函数f (x)当x趋 向无穷大时的极限，记为,如果 不存在，则函数f (x)当x时没有极限。,或 f (x) A (x),定义1-10中“如果当|x|无限增大（即x）时， 函数f (x)无限接近某个常数A”的实质是：随着 x 的绝对值的无限增大，函数f(x)与常数A的距离 |f(x)A|可以任意小，即要多小都可以有多小 （不排除f (x)取常数A的可能）。,如果在定义1-10中限制x只取正值或者只取负值， 即有 称函数f (x)当x趋向正无穷大（或负无穷大）时的极限为A。,或,对于函数 ，其图像如下图所示。 由于 ，并且 两个极限相等，从而,对于函数yarctan x ，由于 两个极限不相等，从而 不存在 对于函数y2x ，由于 其中一个极限不存在，从而 不存在,通过对以上3个函数的分析说明， 只有当 和 都存在并且相等时， 才存在并与前两者相等。,2、自变量趋向有限值时函数的极限,定义1-11 设函数yf (x)在点x0的某个空心邻域 有定义，如果x无限接近有限数 x0 ，即xx0(xx0)时， 函数f (x)无限接近某个常数A，那么就称A为函数f (x) 当xx0时的极限，记为,或 f (x)A (当xx0 ),x无限接近有限数x0而不要求等于x0意味着，当xx0 时， f (x)的变化趋势与f (x) 在x0是否有定义或如何 定义无关。前者是f (x)在x0附近的动态描述，后者是 f (x)在 x0的静态说明。,左极限 右极限 只有当 和 都存在并且 相等时， 才存在并与前两者相等。,左极限、右极限,实例1 考察极限 （c为常数）。 因为函数yc在R上都等于常数c ，所以 实例2 考察极限 。 当 时，tanx ； 当 时，tanx 。 故 不存在。,故,实例3 考察极限 ，其中 由于 和 都存在并且都等于2， 所以 存在且等于2。,但是， f(1)1，所以 。,1、无穷小量 定义1-12 如果在x的某种趋向下，函数f (x)以零为极 限，则称在x的这种趋向下，函数f (x)是无穷小量， 简称无穷小。 例如，数列 的极限是零，故 （当n时） 是无穷小量。当x时，函数 是无穷小量。 当x0时，sinx和 lg(1x)也都是无穷小量。,2.2.3 无穷小量与无穷大量,定理1 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 例如，当x0时，x3和sinx都是无穷小量， 所以x3sinx也是无穷小量。 无限个无穷小量的和就不一定是无穷小量了。,定理2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x2时，(x24)和ln(x1)都是无穷小量， 所以(x24)ln(x1)也是无穷小量。,无穷小量的性质,定理3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x0时，函数x是无穷小量，而 是 有界函数，所以 也是无穷小量,定理4 常数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x时，2-x是无穷小量， 所以3（2-x）也是无穷小量。,定义1-13 如果在x的某种趋向下，函数 f (x)的绝对值 可以任意地大，则称函数是在的这种趋向下的无穷大 量，简称无穷大。 例如，当x时函数x2是无穷大量，当x0时函数 1/x是无穷大量，当x时函数ln(1x)是无穷大量。,2、无穷大量,在自变量的变化过程中为无穷大量的函数f (x) ，按极 限的定义其极限是不存在的。但是为了便于叙述函数 的这一性态，可以这样说：函数的极限是无穷大量， 并记做 lim f (x) 类似地，还有 lim f (x) lim f (x) ,这样一来，相关的极限就可以方便地表达了。 前面的几个例子可以写成 显然，无穷小量和无穷大量有这样的关系： 无穷大量的倒数是无穷小量 恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量,1、极限的运算法则 设lim f(x)A ， lim g(x)B ，则 （1）limf(x)g(x)AB （2）limf(x)g(x)AB 或 limf (x)nAn（n为证整数） （3）limCf(x)CA（C为常数）,（4） （B0）,2.2.4 极限的计算,或,limf(x)g(x)limf(x) limg(x) =AB, limf(x) 0,利用上述极限运算法则求下列函数极限,例1,解：,解：因为分母,所以原式,例2,但因,时,。,，故,所以,解：,例3 求,解：,故由恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量得,练： 求下列函数极限,解：,解：,解：,例4,解： 将分子分母同除以 得,练习 求下列极限： （1） （2） （3）,（2）,（1）,解:,（3）,通过本题的解答可以得到如下的一般结果： 当an，bm0时，有,2、两个重要极限 在微分学中有两个重要的极限公式，它们在计算有 关极限时很有用。,在重要极限（1-4）中令 ，则有： 实际上，公式（1-3）、（1-4）和（1-5）分别具有以 下更普遍的形式：,（1-6）,（1-7）,（1-8）,（1-5）,凡是分子或分母含有三角函数的“ ”型的不定式， 一般都要用公式（1-6）求解。 例如 求 重要极限（1-7）和（1-8）具有这样的共同特点： 幂指函数底的极限是1，指数趋向于无穷大，这也是 一种不定式，通常记为“1”。 计算1型不定式的极限时一定要用这两个极限公式。,例2 证明：,例1 求,解：,证明：,练习 求下列极限,令,则,，,当,时,。,故,函数的极限存在与否是与函数的连续性密切相关的。 从下图所表示的函数图象看，函数在点x1 、 x2和x3是 间断的，在其余的点是连续的。,2.2.5 函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,定义2 设函数f (x)在x0的一个邻域内有定义，如果 函数f (x)当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的 函数值f (x0)，即,那么就称函数f (x)在点x0处连续，称x0为函数的连续点。,根据定义得知：函数在点x0处连续的充分且必要条件是：,f (x0)存在； 存在； 两者相等,如果函数f (x)在某区间上每一点都连续，则称f (x)在该 区间上连续，或者称f (x)是该区间上的连续函数。 连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线。,(1) 6类基本初等函数在它们的定义区间内都是连续的； 连续函数的和、差、积、商（分母不能为零）在其定 义区间内是连续函数； (3) 由连续函数复合成的函数在其定义区间内是连续函数。 由上述3点结论可知， 一切初等函数在其定义域内都是连续函数。,例1 求 例2 求 例3 求,（3）解：,例4 求,解：,*函数的间断点,定义 设函数f (x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数 f (x)有下列三种情形之一： (1)在x=x0没有定义； (2)虽在x= x0有定义，但 不存在； (3)虽在x= x0有定义，且 存在,但 则函数f (x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f (x)的不连续点 或间断点.,间断点分类,2.3 导 数,本节内容 2.3.1 导数的定义 2.3.2 导数的几何意义 2.3.3 可导与连续的关系,在匀速直线运动中，路程和速度之间的关系十分简单。 但是，在变速直线运动中，路程和速度之间的关系就 比较复杂了。因为是变速，不同时刻的瞬时速度一般 是不同的。 如果已经知道物体运动的路程s和时间t之间的函数关 系sf (t) ，如何求某一时刻t0的瞬时速度v(t0)。 下面用“求增量、定比值、取极限”的“三步曲”分 析求解。,2.3.1 导数的定义,(1) 求增量 t0t0t ，物体在这个时间间隔t0，t0t 内所经过的路程为s，即 sf (t0t )f (t0) (2) 定比值 求平均速度 ，即 (3) 取极限 这个时间间隔内的平均速度 与时刻t0的瞬时 速度v(t0)也非常接近。如果极限 存在，它就是时刻 t0的瞬时速度，即,定义1-16 设函数yf (x)在点x0的某个邻域内有定义， 当自变量x在x0处取得增量x （ x 0， x0x点仍在该邻 域内）时，相应地函数f (x)取得增量 yf (x0x )f (x0) 如果当x 0时， 的极限存在，则称函数f (x)在 点x0处可导，并称此极限为函数f (x)在点x0处的导数， 记为 ，即,导 数,（1-12）,也可记做 、 、 、 或 等。 如果极限（1-12）不存在，则称函数在点处不可导。 导数的定义式（1-12）的其它不同的形式 （1-13） 和 （1-14） 式（1-13）中h的即自变量的增量x 。 增量x和y既可以是正值，可以是负值。,如果函数f (x)在开区间D内的每一点x处都可导，就称函数f (x)在开区间D内可导，其导数一般是x的函数，这个函数称为原来函数yf (x)的导函数，简称导数，记为 ， ， 或 。 将式（1-12）和式（1-13）中的x0换成x，即得到导函数的定义式 （1-15） 或 （1-16）,例1 根据导数定义求函数 在x2处 的导数 。,(2) 求,解： (1) 求y,续解,(3) 求,所以,把x=2带入 得,函数f (x)在点x0处可导的充分必要条件是： 在点x0处左导数和右导数都存在且相等。,左导数：,右导数：,定义1-17 设平面直角坐标系 中一条曲线的方程为 。 点P是该曲线上的一个定点， 点Q是该曲线上的一个动点。 当点Q沿该曲线无限接近点P 时，如果割线PQ存在极限位 置PT，则称直线PT为曲线在 点P的切线，如右图所示。,曲线的切线,先计算割线PQ的斜率。 动点Q沿曲线趋向定点P， 等价于 。 因此切线的斜率为,2.3.2 导数的几何意义,由导数的几何意义知，曲线在点 处的切线方 程为,式(1-19)表明了导数的几何意义： 函数f (x)在点x0处的导数 等于曲线yf (x)在点 (x0, f (x0)处的切线的斜率。,(1-20),解 据例1有 将它和点(2,1)的坐标代入方程（1-20）有 y11 (x2) 整理后得到要求的切线方程是 xy10,例2 求抛物线线 在点(2,1)处的切线方程。,定理1-6 如果函数yf (x)在点x0处可导，则函数yf (x) 在点x0处连续。 证明 由于 故 其中(x)当x 0时为无穷小。上式两边同乘以x ， 得,2.3.3 可导与连续的关系,定理1-6的逆定理不成立。 即函数yf (x)在点x0处连续，但在点x0处不一定可导。 下图所示的函数曲线在点x1 、点x2和点x3处反映了该函数不 可导的几种情形。,根据无穷小的性质有， 当x 0时，上式右边 ，因此，y 0 。 再根据函数连续性定义知，函数yf (x)在点x0连续。,2.4 求导方法,本节内容 2.4.1 按定义求导数 2.4.2 导数的四则运算法则 2.4.3 复合函数的求导法则 2.4.4 反函数的求导法则 2.4.5 隐函数及指数函数的求导方法 2.4.6 基本初等函数的导数公式 2.4.7 求导例题,例1 求函数 f (x)sin x 的导数。,2.4.1 按定义求导数,解：,即对于任意xR，,用类似方法可以得到，对于任意xR，,例2 求函数f(x)logax(a0, a1)的导数。,解：,即对任意x0，,特别地，对任意x0，,定理1-7 设函数uu(x)和vv(x)在点x处都可导，则,（1-21）,（1-22）,（1-23）,注意：,2.4.2 导数的四则运算法则,例3 求函数f (x)cosxlnx的导数。,例4 求函数f (x)tanx的导数。,解：,解：,练习 1、求函数f (x)cot x的导数。,2、求函数f (x)sec x的导数。,解：,即,类似可得,定理1-8 设yf (u)，ug(x) ，且ug(x) 在点x处可 导， f (u)在相应的点u处可导。 则复合函数yf g(x)在点x处可导，且 （1-26） 或写成 （1-27）,2.4.3 复合函数的求导法则,显然，复合函数求导法则（1-26）或（1-27）可以推 广到多个函数复合的情形。例如，如果yf (u)， ug(v) ， vh(x)，满足定理1-8的条件，则有 上式右端按y u v x的顺序求导，通常称为链式 法则。,例4 求函数 的导数。,解 本题是 和 复合而成，因此,实际应用复合函数求导法则时，不一定要明确写出中间变量， 只需自己记清楚就可以了。对于本题，可以这样解答：,解：,练习,y=cos(1+x2)可看作y=cosu和u=1+x2复合而成,1、,2、,解：,y= (tanlnx)2可看作y=u2 、 u=tan v和v=lnx复合而成,比较常见的情况,2.4.3 反函数的求导法则,则它的反函数y=f (x)在对应的区间内可导，且有,或,证 因为 互为反函数，所以有,上式两边对x求导得：,或,或,所以,解：,y = arcsinx 是 x = siny 的反函数,因此在对应的区间（-1，1）内有,例5 求函数y = arcsinx 的导数,即,同理,凡是因变量y用自变量x的表达式表示的函数yf (x)称 为显函数。前面介绍的求导方法适用于显函数。 但有时两个变量之间的函数关系由一个方程F(x,y)0 确定，这种由方程所确定的函数称为隐函数。 有些隐函数可以变换为显函数，但也有不能变换为显函数的。,2.4.5 隐函数及指数函数的求导方法,（ ，是一个常数）,开普勒方程：,1、隐函数求导方法,例6 求由方程xyyx80所确定的函数的导数。,解: 方法1 变换为显函数 ，因此,方法2 原方程两边分别对x求导（注意：y是x的函数），,因此,得,解：,练习,求下列方程确定的隐函数的导数,1、,方程两边分别对x求导,解：,方程两边分别对x求导,2、,2、指数函数的求导方法,解题步骤,1、函数两边取对数,2、两边同时对x求导,得,所以,例7,1、函数两边取对数,2、两边同时对x求导,解：,解得,2.4.6 基本初等函数的导数公式 （P54）,(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12),(13),(14),例8 求下列函数的导数 （其中只有 x、t是自变量）,2.4.7 求导例题,（1）,解:,这一类函数的特点是： 分母只是x的幂函数。对这类函数用负指数最简便，如果用函 数相除的求导公式（1-23）也可以解，但比较麻烦。,（2） 解