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黄金比的推导方法 姓名： 学院： 班级： 学号：摘要：古希腊曾提出这样一个问题：“一根棍从哪里分割最为美妙？”答案是：“前半段与后半段之比应等于后半段与全长之比”。设全长为1，后半段为x，此式即成为(1-x):x=x:1，也就是X2+X-1=0。其解为：。棍内分割只能取正值，此值就是著名的黄金分割比值G,G=0.6180339880.618。学理上，推导黄金比例的方法有很多种，今仅简要提出三种，分别为：(1)根据比例中项的原则；(2)根据完美的相似矩形；(3)根据斐波那契数列。关键词：黄金比；比例中项的原则；完美的相似矩形；斐波那契数列黄金比的三种简单推导方法：(1)根据比例中项的原则；(2)根据完美的相似矩形；(3)根据斐波那契数列。 1.根据比例中项的原则如图1所示，在已知线段上取一个点，使该点所分两线段中的一部份是全部线段与另一部份线段的比例中项，这样也可以计算出黄金比例。亦即： 因此，可得： 故可解出：或 其中时，其数值恰为黄金比例，故根据比例中 项的原则也可以推算出黄金比例。 图1 线之黄金分割2.根据完美的相似矩形 有一矩形，如图2所示，今欲从其中切掉一个正方形，若剩下的小矩形和原来的矩形相似，则这两个大小矩形都是最完美的矩形，反之亦然。亦即，若图2所示之矩形为完美的矩形，则：a : b = b : (a b)令该式中之每一个项次均除以矩形的长度a，则： 此式可继续化简为： 解析此一元二次方程式，即可求出其宽长比b/a为： 或 其中时，即为图2所示之矩形的宽度与长度的比值，其比值就是黄金比例，故由完美矩形亦可求出黄金比例。也就是说，完美矩形的宽长比是0.618。 图2完美的相似矩形 3.根据斐波纳契数列1202年，斐波那契提出一个著名的“兔子问题”，亦即：某人在围墙内饲养了一对兔子，如果它们每个月生出一对兔子，且新生的兔子在第二个月后也是每个月生出一对兔子，问一年后围墻内一共有多少对兔子？根据题意，由第一个月开始，每个月围墙内所出现的兔子对数，可列表如表1所示。表1斐波那契所提兔子问题的解答 月份第1月第2月第3月第4月第5月第6月第7月第8月第9月第10月第11月第12月围墙内之兔子对数1123581321345589144由表1得知，经过12个月份之后，围墙内一共会出现144对兔子。以上各个月份所出现的兔子数目，系形成一特殊数列，称为Fibonacci数列。基于此，斐波那契数列可表为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、。其中的数字144系12的平方，它是Fibonacci数列中惟一的平方数。第12个月所出现的数字是12的平方，这似乎是一种必然的巧合。这一连串数字，呈现出一种特殊的组合，亦即前两个数字相加的和，正好是第三个数字的大小。例如，数字2是数字1与1的和，数字3是数字1与2的和，数字5是数字2与3的和，依此类推，即可找出组成斐波那契数列的所有成员，且这是一个无穷尽的级数。引用斐波那契数列，即可找出黄金比例0.618或1.618，说明如下。已知数列可表为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、，其斐波那契前后两个数字相除，会逐渐得出0.618的比值，如表2所示。表2根据斐波那契数列所得出之黄金比例相邻两个数字相除比值相邻两个数字相除比值1.00000000000.61818181820.50000000000.61797752810.66666666670.61805555560.60000000000.61802575110.62500000000.61803713530.61538461540.61803278690.61904761900.61803444780.61764705880.6180338134表2取小数点以下三个位数所出现的比值为0.618，而其倒数则为1 0.618 = 1.618。习惯上，0.618或1.618均可称之为黄金比例或黄金分割。以上所述为黄金比例之推导过程，除此之外，亦可利用正五边形或正十边形的作图法等等，推求出黄金比例。所谓“黄金比”，即具有黄金一样宝贵的性质，事实上，黄金分割的确与众不同，黄金比在工业生产、艺术创作、美学、军事和自然界中都普遍存在。参考文献数学文化欣赏（第二版） 邹庭荣 武汉大学出版社 2013.2 62-71辗转相除法、黄金分割与费氏数列（上） 蔡聪明 数学传播 1995.9 34-42。辗转相除法、黄金分割与费氏数列（下） 蔡聪明 数学传播 1995.12 67-72。 黄金比 http:/baik