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文档简介

第四章 解析函数的级数表示4.1.下列序列是否有极限?如果有极限，求出其极限。（1）；（2）（3）；解：（1）当时，不存在极限，故的极限不存在。（2） ,故。（3）=（令）=，时，的极限都不存在，故无极限。4.2.下列级数是否收敛？是否绝对收敛？（1）；（2）；（3）。解：（1）因发散。故发散。（2）收敛；故（2）绝对收敛。（3）不成立，故发散。4.3.试证级数当时绝对收敛。证明： 当时，令，且。收敛，故绝对收敛。4.4.试确定下列幂级数的收敛半径。（1）；（2）；（3）。解：（1），故。（2）故。（3），故。4.5.将下列各函数展开为的幂级数，并指出其收敛区域。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1）=，原点到所有奇点的距离最小值为1，故.(2) =,且，即。若则=（3）（4）（5）（6）令1，为的唯一奇点，原点到的距离为，故收敛半径4.6.证明对任意的，有证明： 因为所以又因为：=所以4.7 求下列函数在指定点处的泰勒展式。解： （1）, =, (2),; , . (3),； = =. = (4), , ； 4.8 将下列各函数在指定圆环内展为洛朗级数。解：(1) ; , ， =(2) ; =(3);=, , (4), =1/2 =4.9 解：将在处展开洛朗级数 的奇点为。在与解析 当,时， , 当时， , =4.10 将在的去心邻域内展开成洛朗级数。解：的孤立奇点为。在最大
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