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5.3 二分图的对集,设二分图为 ，本节求饱和 中每个点的对集的一个充分必要条件，这是Hall在1935年给出的，称为Hall定理。,定义5.3.1 中 的邻域 ，即与 中顶点相邻的所有顶点全体。,定理5.3.1 设 是二分图，则G有饱和X的每个顶点的对集的充分必要条件是对所有 ，均有 与Hall定理等价的有相异代表元定理： 集合 的一个子集簇 有一个相异代表元当 且仅当对于集合 的所有子集 ，有,定理5.3.1的证明： 必要性：假设 是二分图 的一 个饱和 中每个顶点的一个对集，对 中的 任一个子集 则在 中有 个顶点 在 下分别 与 配对，因此有,充分性：假设 满足条件， 是 的一个最大对集。下证 饱和 中所有点。 反证法。假设 是一个非饱和点。令 记 为 中在 下与 配对的顶点集合。 下证 ，其中 。 否则，设 ，记 ，使 ，则 。下分两种情况讨论：,情况1： 是 非饱和点 因 ，可以证明图 中存在 可扩路，矛盾。 情况2： 是 饱和点 则存在 使 。可以证明 从而得到 ，矛盾。,推论5.3.2 二分图 有完美对集的充分必要条件是 ，并且对一切 ,均有,推论5.3.3 是 正则二分图，则 有完美对集。 证： 是 正则二分图，则 ，分别用 表示与 中顶点相关联的边子集。而 是 正则二分图，故 。 由推论5.3.2， 有完美对集。,推论5.3.4 设 是连通的二分图，则G的每一条边都含在一个完美对集中的充分必要条件是 ，且对X的每一个非空真子集S,均有,证明思路 必要性：对 中的每个非空真子集 , 因为 连通，存在 使 与 中一个 点 相邻，又 中存在含边 的完美对 集 ，则 就是 的完美对集。结 合定理5.3.1可以得到,任取一条边 ，考虑二分图 ，则对 中的每一个非空子集 ，可以推出 根据定理5.3.1， 有饱和 每个顶点 的对集 。而 就是 的含边 的完美 对集。,充分性：,例1 有 张纸牌，每张纸牌的正反两面都写 上 中的某一个数。证明：如果每个 数字都恰好出现两次，那么这些纸牌一定可 以这样摊开，使朝上的面中出现的数字恰好 是 。,证明：作二分图 ，其中 分别表示 个自然数和 张纸牌。 与 之间的边数等于 在纸牌 中出现的次数。 则所得图是2-正则二分图，由定理5.3.3， 有完美对集。设为 则只要将纸牌 中的1朝上； 中的2朝上， 中的 朝上等等。,如有7张纸牌，这7个数字与这7张纸牌的关系 为： 2 4 1 1 2 3 5 3 6 5 4 7
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