极限思想的应用毕业论文.doc

盐城师范学院毕 业 论 文2012-2013 学年度 极限在数学分析与解题中的应用学 生 肖 永学 院 数学科学学院专 业 数学与应用数学学 号 09211237指导教师 李高林 2013年4月24日 极限在数学分析与解题中的应用摘 要极限思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础，极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。所以，对极限概念及理论的理解和掌握的好坏将直接影响到整个本课程的学习。极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折，极限概念描述的是变量在某一刻过程中的变化趋势，是从有限到无限，近似到精确，量变到质变的过程，与初等数学中的概念有很大的区别，因此学生掌握起来比较困难，一些学生到了毕业，还对为什么要用如此抽象的“”定义来描述微积分的极限理论不甚理解。但是如果能从数学的发展历史中了解极限思想和极限理论的形成过程，弄清极限理论概念的描述和逻辑表述形式并辅以典型的例题来加深理解，对于掌握和应用极限概念会起到很重要的作用。【关键词】：极限思想 数学分析 应用 The applation of limit thought in Mathmaticai Analysis and problem solvingAbstract Limit thought is an important thought of modern mathematics, mathematical analysis is based on the concept to the limit, limit theory as the main tool to study the function of a discipline. Therefore, the ultimate concepts and theoretical understanding and mastering will directly affect the whole of this course.Limit theory is an important turning point of mathematics from elementary to advanced, the limit concept describes the trend of the process variables in a moment, from finite to the infinite, similar to a precise, quantitative change to qualitative change, it is remarkable different from the concept of Elementary Mathematics, so it is master more difficult to students, but also on why use such abstract definition to describe the limits of the theory of calculus not quite understand.But if you learn about the history of mathematics and ultimate limit ideological theory of the formation process ,clarify the limits of theoretical concepts and logical presentation of the description and supplemented by typical examples to deepen understanding .application of the concept of limit for the master will play a very important role.【Keywords】: theory of limits , Mathematical Analysis, Application目 录摘 要11、极限思想的形成与发展31.1极限思想的由来3 1.2极限思想的发展32、极限在数学分析中的应用42.1极限在数学概念里的渗透42.2极限在导数中的应用52.3极限在积分中的应用52.4极限在微分中的推动作用63、极限思想在解题中的应用610引言：极限思想是微积分的基本思想，极限不仅为微积分注入了严密性，而且实现了有限和无限的相互转化,连续与不连续的相互转化.数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的，所谓极限思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.所以证明极限存在和求极限的方法就需要我们去探究.1、极限思想的形成与发展1.1极限思想的由来和一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限的思想可追溯到古代，刘徽到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形中心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观大胆的运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明,因此，他就在无意中“提出了把极限方法发展成为一个使用概念的方法”.然而，微积分学在其创立初期由于历史条件的限制，人们对他的基本概念及其关系的认识还不能突破力学和几何直观的局限，许多概念还没有确切的数学定义，特别是一些定理和公式的推导还处在逻辑混乱的局面.1.2极限思想的发展极限思想的完善的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法一一归谬法来完成有关的证明.1917年，波尔察诺的著作纯粹分析的证明的出版是微积分开始严格化的标志.在该书中波尔察诺处于证明代数基本定理的需要，首次用极限观点给出了连续性的定义，如在区间内任一处，只要充分小，就能使两点间距离任意小，则说明该函数在该区间上连续，他把导数定义为无限接近的趋向的量，波尔察诺是微积分开始严格化的前驱.柯西被公认为近代分析的主要奠基人，事实上，他在19世纪20年代陆续发表了3本著作：工科学学分析教程、无限小计算概要和微积分讲义，其中革新了微积分中长期沿袭下来的模糊的旧概念重整了他的理论，把它纳入到一个新的严密的理论体系之中，柯西看出核心的问题是极限，他把极限概念理解为潜无限。并且定义“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终是变量和改定值之差要多小就多小”.这个定值就叫做所有其它值的极限，第一次使极限概念摆脱了与几何和运动直观的任何牵连，给出了建立在属于函数概念上清楚的定义.但是，柯西的极限概念并没有严格的数学定义而是停留在直观的描述上面，所以在他的著作的叙述中不是用严格的数学语言表达，他的函数概念并没有完全脱离解析方式的束缚，在函数的连续性和可微性方面也欠明确等等.因此，他的微积分虽然具有近代的形式但它的基础并不牢固.19世纪50年代，魏尔斯特拉斯（Weierstrass,18151897）在分析严密化方面的工作改进了波尔察诺、阿贝尔和柯西的工作，他力求避免直观而把分析奠基在算数概念上，提出了关于极限的纯算术定义，从而完成了数学分析的严密化工作，从此，极限理论才得以充实和严密的自身体系成为微积分的基础理论，微积分也从此完全脱离过去集合的直观和不确切地描述，进入了一个新的发展时期.极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，使唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用借助于极限思想，人们可以从有限认识无限、从不变认识变、从直线形认识曲线形、从量变认识质变、从近似认识精确2、极限在数学分析中的应用2.1 极限在数学概念里的渗透极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念.（1） 如以函数在点连续的定义.记称为自变量（在点）的增量或改变量，设，相应的函数（在点）的增量记为，可见，函数在点连续等价于，是当自变量得增量时，函数值得增量趋于零时的极限.（2）函数在点导数的定义.设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，令，则可写为，所以，导数是函数增量与自变量增量之比的极限.（3） 函数在区间上的定积分的定义。设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某一正数，使对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有，则称函数为在上的定积分，记。是当分割细度趋于零时，积分和式的极限.（4）数项级数的敛散性是用部分和数列，的极限来定义的.2.2 极限在导数中的应用导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线.（1） 瞬时速度 设一质点做直线运动，其运动规律为，若为某一确定的时刻，为邻近于的时刻，则是质点在时间段上的平均速度. 若时平均速度的极限存在，则称极限为质点时刻的瞬时速度.（2）切线的斜率 曲线在其上一点处的切线PT是割线PQ当动点Q沿此曲线无限接近于点p时的极限位置.由于割线PQ斜率为因此当时如果的极限存在，则极限即为切线PT的斜率.给出导数的定义：设函数在点的某邻城内有定义，若极限存在，则称函数 在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作.令,则上式可改写为.2.3 极限在积分中的应用积分是数学分析中的重要概念，其中的不定积分是求导数的逆运算而定积分则是某种特殊和式的极限，下面给出在定积分中极限思想的重要应用.定积分提出的背景：曲边梯形是由非负连续曲线.直线以及x轴所围成，求此曲边梯形的面积？（1） 将曲边梯形分成个小曲边梯形（2） 当很大，且当所有的都很小时，每个小曲边梯形都可以看成第个成小矩形的面积（3）当n无限增大时，即当无限趋近于0时，就无限趋近于曲边梯形的面积，故.定积分在闭区间内有个点，依次为它们把分成个小区间， ，这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割，记或。小区间长度为并记设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数，若对任给正数，总有在某一正数，使得对的分割，以及在其上任意选取的点集，只要就有，则称函数在区间上可积，数称为上的定积分，记作.2.4 极限在微分中的推动作用若函数在点0可微，则，极限有力地推动了微分的发展。促使微分在近似计算和泰勒公式等方面的重要应用，同时微分也反作用于求解各种类型的不定式极限.1. 一个边长为的正方形，它的面积，若边长由增加，相应的正方形的面积的增量= A=2. 3. 泰勒公式的应用：4.3、极限思想在解题中的应用.事实上，极限思想使人们能够从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变成为可能。现行高中教材中有多处内容渗透了极限的思想和方法，如“球的体积和表面积”、“双曲线的渐近线”等，但是极限思想在实际教学中没有得到普遍的认可和推广，学生对这种思想方法相当陌生. 下面是笔者尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视.xyFPQO3.1、寻求极限位置 实现估算与精算的结合例1、设是椭圆的长轴的两个端点，是垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【分析】选C（法1）设，由椭圆得，直线为，直线为，交点中，即选C (法2)利用极限的思想即当恰是短轴的两个端点时，则两直线无交点，即说明当时，所求的曲线方程无解结合选项可判断选C例 2、过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段与的长分别是 ,则等于（ ） (A) (B) (C) (D) 解析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求的关系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分认识到变与不变的辨证关系，利用运动和变化的观点，借助于极限思想即取PQ的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到与轴重合，此时Q与O重合，点P运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为，而，所以，故选择（C）。3.2、考查极限图形 简化计算例 1、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、解析：设正n棱锥为，由于多变，所以底面正边形、侧面出现不确定状态，这样导致直接分析求解将是繁难，甚至是“到而不达”的，若另辟蹊径，采用极限法，则解法将是简捷、易行的，其计算量得到极大的简化。本例中底面正边形固定，而棱锥的高不定，故可将顶点S看作是运动变化的，设相邻两侧面所成的二面角的平面角为。当点S向下运动无限趋近底面正边形的中心这个极限位置时，趋于平角；当点S向上运动趋于无穷远时，侧棱将无限趋于与底面垂直，即正n棱锥趋近于正n棱柱，此时无限趋于底面正边形的内角，故二面角的取值范围是：，从而选(A)评注：“化静为动，以动制静”，利用运动和变化的观点，着眼于问题的极限状态，摈弃了繁琐的数学运算，使得所研究问题更加直观、明朗。因此，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，而灵活地利用极限思想就成为减少运算量的一条重要途径 .例2、函数的值域是（ ） （A） （B） （C） （D）【分析】选D法1:用极限的思想函数定义域为且当时，可排除B，C；当时，可排除A故选D法2:函数变形为，设则，再作出“对勾”函数的图象，数形结合即可求出例3、已知，则的大小关系为_分析：令，则，大小关系为3.3、分析极限状态 探索解题思路例 1、已知抛物线方程为。求证：在轴正方向上必存在一点M，使得对于抛物线上任意一条过M的弦PQ均有为定值 .分析：假设点M确实存在，因为过点M的任意一条弦PQ均有为定值，因此对过点M的一条特殊弦垂直于轴的弦也应该有为定值.设，则，但是仅凭此式还看不出点M到底是哪个定点. 下面再考查弦的一个极限情形轴的正半轴，它过点M，它的一个端点是原点O，另一个端点可以看成是无穷远处的极限点（假想的点），它是弦的一种极限情形，显然有，所以，它也应该是定值，且，由此可得，于是可以猜想定点，MFxyO下证过点的任一弦PQ均有（定值）。证明：设过点的直线参数方程为，代入抛物线方程得，设此方程的两根为，则，而的几何意义分别表示MP及MQ的值。因此点是满足题意的点.评注：通过分解有关对象在运动变化过程中的极限状态，提取信息、信息整合，即而寻求到合理的解决问题的途径，降低了解题难度，优化了解题过程，有效激活了创新思维，凸现了极限思想在解题中的独特功能及应用的广泛性。例2、2005年10月15日，我国成功发射神州五号载人航天飞船，若飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，且其近地点距离地面为千米，远地点距地面千米，则该飞船运行轨道的短轴长为（ ）已知地球半径为千米（A） （B） （C） （D）分析：选B考虑问题的极限情形，则符合题意的椭圆表现为圆，于是轨道的短轴长表现为圆的直径，而将代入各选择分支，仅有B适合，于是正确答案只能是B3.4