变形及刚度计算(改).ppt

,第八章 变形及刚度计算,第八章,变形及刚度计算,主讲教师：余茜,8 1 轴向拉伸杆的变形,8 2 圆轴扭转时的变形和刚度计算,8 3 梁的变形及刚度计算,8 4 简单超静定问题,目 录,第二章 轴向拉伸和压缩, 8-1 轴向拉压杆的变形, 8-1 轴向拉压杆的变形,F,F,一、轴向拉压的变形分析,F,F,轴向拉伸： 纵向伸长、横向缩短,纵向伸长量：,横向缩短量：,轴向压缩： 纵向缩短、横向伸长,纵向缩短量：,横向伸长量：,注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不一的杆件，因此引入应变的概念。,F,F,F,F,1、纵（轴）向变形量：,2、横向变形量：,二、线应变,轴向线应变：,线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长，称之为线应变。,横向线应变：,3、线应变的符号约定： 与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负。, 8-1 轴向拉压杆的变形,上式表明，在线弹性范围内轴向拉、压杆件的伸长或缩短量 l ，与轴力 FN和杆长 l 成正比,与EA 成反比。,EA抗拉（压）刚度, 8-1 轴向拉压杆的变形,由胡克定律,且,轴向线应变：,E弹性模量,EA抗拉（压）刚度,l 表示长为 l的杆件在轴力 FN的作用下的伸长量或缩短量,条件：杆件在 l长范围内EA和FN均为常数。,当EA和FN在杆长范围内分段为常数时,FN图,当EA和FN在杆长范围内为位置的函数时, 8-1 轴向拉压杆的变形,三、泊松比,当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。,横向线应变：,纵向线应变：,实验表明，对于同一种线弹性材料，存在如下关系：, 称为泊松比，量纲为一,负号表示纵向与横向变形的方向总是相反, 8-1 轴向拉压杆的变形,40KN,20KN,10KN,50kN,20kN,30kN,A,B,C,D,E,1m,2m,3m,1m,解：用直接法画轴力图,分析：多力作用下，整个杆长范围内轴力分段为常数，只能分段求变形，再求和。,又因为BD段内虽然轴力为常数，但截面面积又分两段，所以要分4段求变形。,FN图, 8-1 轴向拉压杆的变形,40KN,20KN,10KN,50kN,20kN,30kN,A,B,C,D,E,1m,2m,3m,1m,解：用直接法画轴力图,FN图, 8-1 轴向拉压杆的变形,40KN,20KN,10KN,50kN,20kN,30kN,A,B,C,D,E,1m,2m,3m,1m,解：用直接法画轴力图,FN图,即杆被压短了1.572mm, 8-1 轴向拉压杆的变形,解：,把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度qA,任意取一个截面11，画受力图。轴力,在11截面处取出一微段dy作为研究对象，受力如图。,由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，认为在微段dy上轴力均匀分布（常数）, 8-1 轴向拉压杆的变形, 8-1 轴向拉压杆的变形,结论：等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集中力作用在杆端所引起的变形量的一半。,G,令取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作用在自由端，此时杆件的伸长量为, 8-1 轴向拉压杆的变形, 8 2 圆杆扭转时的变形和刚度计算,一、扭转变形扭转角,抗扭刚度,扭率：,单位长度扭转角（扭率）描述了扭转变形的剧烈程度,扭转角：,单位：rad,一、扭转变形扭转角,扭转角：,当在杆长l内扭率为常数时,单位：rad,当在杆长l内扭率分段为常数时，用求和公式, 8 2 圆杆扭转时的变形和刚度计算,二、刚度条件,以度每米为单位时,以弧度每米为单位时,许用单位长度扭转角,三、刚度条件的应用,（1）校核刚度 （2）设计截面 （3）确定荷载, 8 2 圆杆扭转时的变形和刚度计算,例题：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的许用切应力=40MPa，轴的许用单位扭转角 =0. 8/m，剪切弹性模量G=80GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。,d2,d1,A,B,C,8KN.m,5KN.m,3KN.m,d2,d1,A,B,C,8KN.m,5KN.m,3KN.m,解：强度校核,T图,满足强度条件,分析：虽然MTABMTBC，但BC段的截面面积也大于AB段的截面面积，所以要分段分别校核。,刚度校核,T图,满足刚度条件,例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大切应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？,8,16,例：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。,解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为1,一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）, 83 梁的变形及刚度计算,1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的线位移，称为该截面的挠度。,一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）,挠度方程：一般各横截面的挠度是不相同的，是位置x的函数，称为挠度方程，记做y=y（x）,y,A,B,x,2、转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面绕中性轴转动的角度） , 称为该截面的转角。,C,C,一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）,转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的函数，称为转角方程，记做= （x）,3、挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。,挠曲线方程为,式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。,y,A,B,x,C,C,挠曲线,一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）,挠度方程,y,A,B,x,C,C,挠曲线,4、挠度和转角的关系,即,该式表明，某截面的转角等于挠曲线在该截面处的一阶导数,挠度：向下为正，向上为负。,转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。,y,A,B,x,C,C,挠曲线,5、挠度和转角的符号约定,剪力弯曲时, M 和 都是x的函数 。略去剪力对 梁的位移的影响, 则,纯弯曲时曲率与弯矩的关系为,二、 挠曲线的近似微分方程,由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作,由以上两式，得,在规定的坐标系中, x 轴水平向右 为正, y 轴竖直向下为正；而弯矩是下侧受拉为正。,曲线向上凸 时 ： y 0 , M 0,曲线向下凸 时 ： y 0,因此, M 与 y的正负号相反,二、 挠曲线的近似微分方程,此式称为 梁的挠曲线近似微分方程,近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 y 2 项。,与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为,二、 挠曲线的近似微分方程,三、 用积分法求梁的变形,梁的挠曲线近似微分方程,（一）、公式推导,再积分一次, 得挠度方程,上式积分一次得转角方程,式中C 、D称为积分常数，可通过梁挠曲线的位移边界条件和变形连续光滑条件来确定。,A,B,A,B,在简支梁中， 左右两铰支座处的挠度 yA 和 yB 都应等于零（边界）；C左、C右截面的饶度、转角相等（变形连续光滑）。,在悬臂梁 中，固定端处的挠度 yA和转角 A 都应等于零。,（二）、位移边界条件和变形连续条件,位移边界条件：,yA 0 ，yB 0,位移边界条件：,yA 0 ， A 0,注意：位移边界条件在支座处 变形连续条件中间在分段点,变形连续条件：,C,yC1 yC2 ， C1 C2,三、 用积分法求梁的变形,注 意,当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线方程也随之而异。,三、 用积分法求梁的变形,1、正确分段，分别列弯矩方程； 2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积分得挠度方程； 3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。,步 骤,注意： 1、位移边界条件在支座处，变形连续条件在中间分段点处； 2、分n段，就要列n个弯矩方程，就有n个转角方程和n个挠度方程，因此就有2n个积分常数，就必须列出2n个补充方程（边界条件和变形连续条件）,三、 用积分法求梁的变形,C,D,A,F,B,例题 ：用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件。,3m,3m,2m,q,解：分AC、CB、BD三段,1,位移边界条件：,变形连续条件：,yA 0,yC1 yC2 ， C1 C2,2,3,应该列6个补充方程,yB2 yB3 ， B2 B3,A截面：x1=0时，,C截面：x1=x2=3m时，,B截面：x2=x3=6m时，,B截面：x2=x3=6m时，,yB 0,例题 ：图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 P 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ymax 和最大转角 max 。,弯矩方程为,解：,挠曲线的近似微分方程为,对挠曲线近似微分方程进行积分,边界条件为 ：,C1=0 C2=0,将边界条件代入(3) (4)两式中,可得,C1=0 C2=0,梁的转角方程和挠度方程分别为,ymax,例题 ：图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求D截面的挠度和A、B截面的转角,解：梁的两个支反力为,1、分两段分别列弯矩方程,2、两段梁的挠曲线方程分别为,可见，梁分两段，就有4个积分常数,3、边界条件和变形连续条件,代入方程可解得：,1,2,1,2,将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程，左右两支座处截面的转角,当 a b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大,1,2,D截面的挠度：,把x=a代入y1或者y2，得,叠加原理：梁在小变形、弹性范围内工作时， 梁在几项荷载（可以是集中力, 集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向 ), 其转角是在同一平面内 ( 如均在 xy 平面内 ) 时,则叠加就是代数和。,四、 用叠加法求梁的变形,力的独立作用原理在线弹性及小变形条件下，梁的变形（挠度y和转角）与荷载始终保持线性关系，而且每个荷载引起的变形与其他同时作用的荷载无关。,叠加法的分类,直接叠加梁上荷载可以化成若干个典型荷载，每个典型荷载都可以直接查表求出位移，然后直接叠加；,间接叠加梁上荷载不能化成直接查表的若干个典型荷载，需将梁进行适当转换后才能利用表中结果进行叠加计算。,四、 用叠加法求梁的变形,例题：一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度 yC 和支座处横截面的转角 A 、 B 。,解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图b、c 所示,(b),B,B,(C),查表，得,例题：试利用叠加法，求图所示抗弯刚度为 EI 的简支梁跨中点的挠度 yC 和两端截面的转角 A , B 。,解： 可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。,（1）正对称荷载作用下,（2）反对称荷载作用下,可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度 为 l /2 的简支梁,在跨中C截面处，挠度 yc 等于零 ，但 转角不等于零 且该截面的 弯矩也等于零,C,A,B,（2）反对称荷载作用下,将相应的位移进行叠加, 即得,例7.6 等截面外伸梁受力如图7.8（a）所示，其抗弯刚度EI为常数。试求自由端处的挠度 yC。,AB为基本部分 BC为附属部分,基本部分AB的变形使附属部分BC产生的刚体位移，称为牵连位移,附属部分BC自身变形引起的位移，称为附加位移,例7.6 等截面外伸梁受力如图7.8（a）所示，其抗弯刚度EI为常数。试求自由端处的挠度 yC。,牵连位移,附加位移,例7.7 变截面梁受力如图7.9（a）所示，试求自由端处的挠度 yB。,AC为基本部分 CB为附属部分,例题：一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示,试按叠加原理并利用附表, 求截面 B 的转角 B 以及 A 端和BC 中点 D 的挠度 y A 和 yD 。,解：将外伸梁沿 B 截面截成两段，将AB 段看成 B 端固定的悬臂梁，BC 段看成简支梁。,B 截面两侧的相互作用力为：,2qa,简支梁 BC 的受力情况与外伸梁 AC 的 BC 段的受力情况相同,由简支梁 BC 求得的B ，yD，就是外伸梁 AC 的 B ，yD,简支梁 BC 的变形就是MB 和均布荷载 q 分别引起变形的叠加。,(1)求 B ，yD,由叠加原理得,(2) 求 yA,由于简支梁上 B 截面的转动，代动 AB 段一起作刚体运 动，使 A 端产生挠度 y1,悬臂梁 AB 本身的弯曲变形，使 A 端产生挠度 y2,2qa,2qa,因此，A端的总挠度应为,查表，得,2qa,2qa,式中：ymax 为梁上最大的挠度；l 为梁的跨长； f / l 为 梁的许可挠度与的跨长比值。,五、 梁的刚度校核,刚度条件（一般只校核挠度）,注意： 1、建筑结构即要满足强度条件，同时也要满足刚度条件； 2、一般情况下，强度条件起控制作用，所以，在设计梁的截面时，用强度条件选择梁的截面，选好后再代入刚度条件进行校核。,梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI、梁的跨度、荷载、约束等因素有关。,提高梁弯曲刚度的措施,措施： 1、选用合理的截面形状，增大梁的抗弯刚度EI ； 2、改善结构形式，调整跨长； 3、改变加载方式； 4、增加约束，采用超静定结构；,一、超静定的概念, 8-4 简单超静定问题, 8-4 简单超静定问题,静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目，全部未知量均可求出，这样的问题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。,超静定或静不定 ：未知量的数目多于独立的平衡方程的数目，未知量不可全部求出，这样的问题称为超静定问题，相应的结构称为超静定结构。 超出几个未知量，就是几次超静定问题。 通常超静定问题需要建立补充方程，方可求解。 在超静定结构中，若不考虑强度和刚度而仅针对维持结构的平衡而言，有些约束是可以去掉的，这些约束称为多余约束，与其相应的支座反力称为多余支反力。,独立的平衡方程数：236 未知力数：2+1+2+16 独立的平衡方程数=未知力数,独立的平衡方程数：236 未知力数：3+1+2+17 未知力数独立的平衡方程数,静定问题,超静定问题, 8-4 简单超静