二、《数学物理方法与计算机仿真》习题解答.pdf

第二篇 数学物理方程 -1 - 第二篇 数学物理方程部分 第二篇 数学物理方程部分 第九章 数学建模数学物理定解问题习题及解答 第九章 数学建模数学物理定解问题习题及解答 9.1 长为l的均匀细弦，两端固定于0,xxl=，弦中的张力为 0 T. 在xh=点处，以横向 力 0 F拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件. 【答案 0 0 0 0 0 () , 0, | () , , t F lh x xh T l u F h lx xh l T l = = 】 9.2 长为l的均匀杆两端受拉力 0 F作用而作纵振动，写出边界条件. 【答案 000 |, | xxxx l YSuFYSuF = =】 9.3 长为L的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为 0 q，写出这个热传导问题的边界条 件. 【答案 000 |,| xxxx L kuq kuq = =】 9.4 一根长为L的均匀细弦，两端固定于0,xxL=，用手将弦于xl=处朝横向拉开距 离h，然后放手任其振动，试写出其定解问题. 【答案 2 0; (0, )0( , );( ,0)0, (0) ( ,0) () () ttxxt ua uutL t u x h xxl l u x H LxlxL Ll = = 】 9.5 有一均匀细杆，一端固定，另一端受到纵向力 0 ( )sinF tFt=作用，试写出其纵振动 方程与定解条件. 【答案 2 0 sin 0; (0, )0,( , ); ( ,0)0,( ,0)0 ttxxxt t ua uutu l tFu xu x Ys =】 9.6 有一均匀细杆，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长而静止（设拉长在弹性限 度内）.突然放手任其振动，试推导其其纵振动方程与定解条件. 【答案 2 0; (0, )0( , ); ( ,0),( ,0)0 ttxxxt ua uutu l t u xx u x l =】 9.7 长为l的理想传输线， 一端0x =接于交流电源， 其电动势为 0sin Et， 另一端xl=开 路。试写出线上的稳恒电振荡方程和定解条件. 【答案 22i 00 1 0,(), |, |0 t ttxxxx l aaE ei LC = =vvv】 9.8 研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为 0 T，杆上温度梯度 均匀，零度的一端保持温度不变，另一端与外界绝热，试写出细杆上温度的变化所满足的 方程，及其定解条件. 第二篇 数学物理方程 -2 - 【答案 22 0 0,(/); (0, )0,( , )0; ( ,0)/ ,(0, ) txxx ua uakc utu l tu xT x l xl=】 9.9 试推导均匀弦的微小横振动方程. 【答案 具有类型： 2 ttxx ua uf=，详细自行讨论】 9.10 试推导出一维和三维热传导方程. 【答案 具有类型： 22 ;() txxtxxyyzz ua uf ua uuuf=+=，详细自行讨论】 9.11 试推导静电场的电势方程. 【答案 具有类型： xxyy uuf+=，详细自行讨论】 9.12 推导水槽中的重力波方程. 水槽长为l，截面为矩形，两端由刚性平面封闭.槽中的水 在平衡时深度为h. 【提示：取x沿槽的长度方向，取u为水的质点的x方向位移】 【答案 取x沿槽的长度方向，u为水的质点的x方向位移，则 ttxx ughu=】 9.11. 有一长为l的均匀细弦,一端固定,另一端为弹性支撑,设弦上各点受有垂直于平衡位置 的外力,外力线密度已知,开始时.弦 1 2 处受到冲量I作用,试写出其定解问题. 答 ()() () () () () () 22 2 22 ,0,0 , 0.,00 ,00 ,00, 2 t uu af x txlt tx u l t uthu l tt x u x Il uxxxl =+ =+= = = 9.14 由一长为l的均匀细杆,侧面与外界无热交换,杆内有强度随时间连续变化的热源,设在同 一截面上具有同一热源强度及初始温度,且杆的一端保持零度,另一端绝热,试推导定解问题. (答 ()() () () ()( ) 2 2 2 ,0,0 , 0,0,0 ,0,0, uu af x txlt tx u l t utt x u xxxl =+ = = ) 9.15 设有高为h半径为R的圆柱体,圆柱体内有稳恒热源,且上下底面温度已知,圆柱侧面绝 热,写出描述稳恒热场分布的定解问题. 答 ()() 222 2222 0 11 , , 0,0,2,0, , 0 zz h r R uuuu f rzrRzh rrrrz uAuB u r = = += = = 第二篇 数学物理方程 -3 - 9.16 设有定解问题 () () 222 222 0 0 0 0 ,0,0;0 0, 0,0 , ,0,0 xx a yy b t tt uuu xayb t txy uu uut ux y ux yxayb = = = = =+ = = = =】 11.3 11.3 求解细圆锥形均质杆的纵振动. 【提示 作变换 ux=v/】 【答案 12 ()()f xatfxat u x + =】 11.411.4 半无限长杆的端点受到纵向力( )sinF tAt=作用，求解杆的纵振动. 【答案 0 0 ()()1 ,( )d 22 1 ( )dcos() 2 x at at x xatatx x tu a a aAxaA t aYSaYS + + =+ + 】 11.511.5 已知初始电压分布为cosAkx，初始电流分布为cos C Akx L ，求解无线长理想传输 线上电压和电流的传播情况， 【答案 cos (),/cos ()Ak xat iC LAk xat=v =】 11.611.6 在GLCR=条件下求无限长传输线上的电报方程的通解. 【答案 11 ()()( )d 22 R x att L x at exatxat a + + 】 11.711.7 已知端点通过电阻R而相接，初始电压分布为cosAkx，初始电流分布为 /cosC LAkx.求解半无限长理想传输线上电报方程的解；在什么条件下端点没有反射 （遮住情况叫作匹配匹配）？ 【答案 匹配的条件是 0 L R C =，因此 L C 叫作特征阻抗】 本章计算机仿真 本章计算机仿真 11.811.8 试用计算机仿真的方法，将 11.2 的弦振动规律以图形的分式表示出来. 【解】计算机仿真程序 w=pi; a=2; A=1.2; x=0:0.01:10; for t=1:0.5:25 u=A*sin(pi*(t-x/a); plot(x,u); title(弦振动) xlabel(x) ylabel(u) 第二篇 数学物理方程 -7 - pause(0.0000001); end; 11.911.9 试用计算机仿真的方法，将 11.5 中的电压分布和电流分布用图形表示出来 【解】计算机仿真程序 w=pi; a=2; A=1.2; k=2*pi; C=0.006; L=0.003; x=0:0.001:10; for t=1:0.5:25 subplot(2,1,1); v=A*cos(k*(t-x/a); plot(x,v); title(电压动态分布) xlabel(x) ylabel(v) pause(0.0000001); 第二篇 数学物理方程 -8 - subplot(2,1,2); i=sqrt(C/L)*A*cos(k*(t-x/a); plot(x,i); title(电流动态分布) xlabel(x) ylabel(i) pause(0.0000001); end; 第 12 章习题解答 第 12 章习题解答 12.112.1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数 (1)( )( )0; (0)0,( )0 (2)( )( )0;(0)0,( )0 (3)( )( )0; ( )0, ( )0 XxX xxx l XxX xxx l XxX xx ax b += += += 1 第二篇 数学物理方程 -9 - 【答案【答案 2 2 2 2121 (1)() ,0,1,2,;( )sin 22 (2)() ,0,1,2,;( )cos (3)() ,1,2,;( )sin() nn nn nn nn nXxx ll nn nXxx ll nn nXxxa baba + = = = L L L 】 12.212.2 长为l的杆，一端固定；另一端受力 0 F而伸长，求解放手杆的振动. 【 答案 0 22 0 11 ()() 81 22 ( 1)cossin (21) n n natnx Fl YSnll = + + 】 12.312.3 长为l的的弦，两端固定，弦中张力为T. 在距一端为 0 x的一点以力 0 F把弦拉开，然 后突然撤除此力，求弦的振动. 【答案 初始位移 00 () /(), (0)F lx x lTxx = = (3) ( ,0)( ), (0, ) (4) t u xxxl = 第二篇 数学物理方程 -10 - 解：解： 用分离变量法解，令 ( , )( )( ) (5)u x tT t X x= 并将(5)代入（） ，(2)，得固有值问题 ( )( )0 (6) (0)( )0 (7) XxX x XX l += = 及 2 ( )( ) (8)T taT t+ y=x; syms x0; Z=int(10*y./(pi*( (x-x0).2+y.2 ) ,x0,-inf,+inf) 第 15 章综合习题 第 15 章综合习题 第二篇 数学物理方程 -37 - 用傅氏变换法求解下列 15.1;15.2;15.3 题；用拉氏变换法求解下列 15.4;15.5;15.6 题 15.1 15.1 二维波动，初始速度为零，初始位移在圆1=以内为 1，在圆外为零，试求 0 |.u = 【答案【答案 0 2 2 1, (1/ ) | 1, (1/ ) 1 ta uat ta a t = 】 15 2 】 15 2 半无界杆， 杆端0x =有谐变热流sinBt进入， 求长时间以后的杆上温度分布( , )u x t. 答案 答案 2 /(2) 2 sin() 24 xa aB etx ak 15.3 15.3 研究半无限长细杆导热问题. 杆端0x=温度保持为零.初始温度分布为 (1) x B e 【 【答案 22 22 22 ()()() 2222 atxx Batxatxx eeerfce erfcBerf a ta ta t + 15.4 15.4 求解一维无界空间中的扩散问题即 2 0 0, |( ) txxt ua uux = = 【答案答案 2 2 () 4 1 ( , )( )d 2 x a t u x te a t + =】 15.515.5 求解一维无界空间的有源输运问题 2 0 ( , ), |0 txxt ua uf x t u = = 【 答案 答案 2 2 () 4() 1 ( , )d ( , )d 2() x t at u x tef at + = 】 15.615.6 求解无界弦的受迫振动 2 00 ( , ), |( ),|( ) ttxxttt ua uf x t ux ux = = 【答案答案 () 0() 111 ()()( )dd( , )d 222 x attx a t x atx a t xatxatf aa + + 】 计算机仿真编程实践 计算机仿真编程实践 15.7 15.7 利用计算机仿真方法(Matlab 中的傅里叶变换法)对习题 15.1 进行求解. 【解】计算机仿真图形显示 % Assume a=2 %仿真求解由读者思考，下面仅仅给出仿真显示 a=12.0 t=0.1:0.01:2 if t1.0/a u=1-a*t./sqrt(a*t).2-1); end plot(t,u) 图形： 第二篇 数学物理方程 -38 - 15. 815. 8 利用计算机仿真(Matlab 等)：拉普拉氏变换法对习题 15.6 进行求解. 【解】计算机仿真程序 % 任意假设 f(x,t)=A=2.56; fai(x)=x;pusi(x)=B=6.7 %仿真求解由读者思考，下面仅仅给出仿真显示 %可以推出此情况下的解为u(x,t)=x+B*t+A/2*t2，仿真显示为 A=2.56;B=6.7; x,t=meshgrid(0:0.1:12); u=x+B*t+A/2*t.2; mesh(u) 第二篇 数学物理方程 -39 - 第 16 章综合习题 第 16 章综合习题 16.116.1 求解一半径维a的无限长导体圆柱壳内的电场分布。设柱面上的电势为 1 2 , (0) , (2 ) u u ux = 的解为( , )_.u x t = 2确定下列本征值问题 ( )( )0 (0)0,( )0 XxX x XX l += = 的本征值 ，本征函数( )X x 3已知 2 2 1 ( )()2d ,J y xyxy x= 则_.J= 4定解问题 1 ( ,0) ( ,0)0 xxyy y uu u xx ux = = = 的解为( , )_.u x y = 二试用行波法求解右行波的初值问题 (20 分) 0,(,0) ( ,0)( ) tx uauxt u xx += = 三试求定解问题 (20 分) 2 22 sin()sin(),(0,0) (0