广东高考数学二轮复习每日一题规范练（第一周）理.docx

每日一题规范练(第一周) 题目1 (本小题满分12分)已知等差数列an的公差d0，其前n项和为Sn，且a2a48，a3，a5，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bnn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)因为a2a48，及等差数列性质，所以a34，即a12d4.因为a3，a5，a8为等比数列，则aa3a8.所以(a14d)2(a12d)(a17d)，化简得a12d.联立和得a12，d1.所以ann1.(2)因为bnnn()n.所以Tn()23()()()(123n)(). 题目2 (本小题满分12分)已知函数f(x)cos2xsin(x)cos(x).(1)求函数f(x)在0，上的单调递减区间；(2)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)1，a2，bsin Casin A，求ABC的面积解：(1)f(x)cos2xsin xcos xsin 2xsin，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，所以函数f(x)在0，上的单调递减区间为和.(2)由(1)知f(x)sin，所以f(A)sin1，因为ABC为锐角三角形，所以0A，所以2A，所以2A，即A.又bsin Casin A，所以bca24，所以SABCbcsin A. 题目3 (本小题满分12分)某校高三200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N(70，7.52)数学成绩的频率分布直方图如下：(1)计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)；(2)如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？(3)如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从(2)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望(附参考公式)若XN(，2)，则P(X)0.68，P(2X2)0.96.解：(1)数学成绩的平均分为0.012450.02550.025650.035750.006850.002951065.9.根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些(2)语文成绩优秀的概率为p1P(X85)(10.96)0.02，数学成绩优秀的概率为p2(0.0060.002)100.05，语文成绩优秀人数为2000.024人，数学成绩优秀人数为2000.0510人(3)语文和数学两科都优秀的共有4人，则单科优秀的有6人，X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).X的分布列为X0123P数学期望E(X)0123. 题目4 (本小题满分12分)在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，A1AA1C，A1AA1C.(1)求证：A1C1B1C；(2)求二面角B1A1CC1的正弦值(1)证明：如图1，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，图1因为C1CA1AA1C，所以CDA1C1，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以ABBC2，A1B1B1C12，所以B1DA1C1，又B1DCDD，CD平面B1CD，B1D平面B1CD，所以A1C1平面B1CD，所以A1C1B1C.(2)解：法一如图1，过点D作DEA1C于点E，连接B1E.因为侧面AA1C1C底面ABC，所以侧面AA1C1C平面A1B1C1，又B1DA1C1，侧面AA1C1C平面A1B1C1A1C1，所以B1D平面A1CC1，所以B1EA1C，所以B1ED为所求二面角的平面角，因为A1B1B1C1A1C12，所以B1D，又EDCC1，所以tan B1ED，所以二面角B1A1CC1的正弦值为.法二如图，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(，0，0)，A1(0，0，1)，B1(，1，1)，C(0，1，0)所以(，1，0)，(0，1，1)，设m(x，y，z)为平面A1B1C的一个法向量，所以令y，得m(1，)，又(，0，0)，易证平面A1CC1，可以作为平面A1CC1的一个法向量所以cosm，由图易知所求二面角为锐角，所以二面角B1A1CC1的正弦值为. 题目5 (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求OPQ的面积S是否为定值，并说明理由(1)证明：因为k1，k2存在，所以x1x20，因为mn0，所以y1y20，所以k1k2.(2)解：当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由，得y0，(*)又由P(x1，y1)在椭圆上，得y1，(*)由(*)、(*)联立，得|x1|，|y1|.所以SPOQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb(b0)由得(4k21)x28kbx4b240，64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0，x1x2，x1x2.因为y1y20，所以(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，满足0.所以SPOQ|PQ|b|2|b|2|b|1.综上可知，POQ的面积S为定值 题目6 (本小题满分12分)已知函数g(x)axaln x，f(x)xg(x)，且g(x)0.(1)求实数a的值；(2)证明：存在x0，f(x0)0且0x01时，f(x)f(x0)(1)解：g(x)的定义域为(0，)，且g(x)a，x0.因为g(x)0，且g(1)0，故只需g(1)0.又g(1)a1，则a10，所以a1.若a1，则g(x)1，显然当0x1时，g(x)0，此时g(x)在(0，1)上单调递减；当x1，g(x)0，此时g(x)在(1，)上单调递增所以x1是g(x)的唯一的极小值点，故g(x)g(1)0.综上，所求a的值为1.(2)证明：由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x.设h(x)2x2ln x，则h(x)2，当x时，h(x)0；当x时，h(x)0，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增又h(e2)0，h0，h(1)0，所以h(x)在有唯一零点x0，在有唯一零点1.当x(0，x0)时，h(x)0；当x(x0，1)时，h(x)0.因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点则xx0是f(x)在(1，1)的最大值点，所以f(x)f(x0)成立 题目7 1.(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数，aR)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|AB|8，求实数a的值解：(1)因为曲线C1的参数方程为(t为参数)，所以曲线C1的普通方程为xya10.因为曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0，所以2cos24cos 20，所以x24xx2y20，即曲线C2的直角坐标方程为y24x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由得t22t28a0.(2)24(28a)0，即a0，t1t22，t1t228a，根据参数方程中参数的几何意义可知|AB|t1t2|8，所以a2.2(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)|x|1；(2)若对x