第三讲函数与不等式问题的解题技巧

第三讲 函数与不等式问题的解题技巧【命题趋向】高考函数试题有这样几个特点：1通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象2在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现3从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查4一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的5涌现了一些函数新题型6函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导函数类试题在试题中所占分值一般为22-35分不等式试题则有这样几个特点：1在选择题中会继续考查比较大小，可能与函数、方程、三角等知识结合出题.2在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题.3解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法.分值在27-32分之间，一般为2个选择题，1个填空题，1个解答题可以预测在2009年的高考试题中，会有与导数结合的函数单调性函数极值函数最值问题；选择题与填空题中会出现一些与函数、方程、三角等知识结合的不等式问题，在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。【考点透视】考点1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例1（2007年广东卷理）已知函数的定义域为M，g(x)=的定义域为N，则MN= （A） （B） （C） （D）例2. ( 2006年湖南卷）函数的定义域是( )（A）(3,+) （B）3, +) （C）(4, +) （D）4, +)考点2.复合函数问题 复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例3（2007年北京卷文）对于函数，判断如下两个命题的真假：命题甲：是偶函数； 命题乙：在上是减函数，在上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）例4（2006年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则_.考点3.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例5（2006年全国卷） 已知函数，若为奇函数，则_.例6（2007年全国卷理I），是定义在上的函数，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（）A充要条件B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件D既不充分也不必要的条件考点4. 函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例7.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )例8.当a0时，y=ax+b和y=bax的图象只可能是( )Oxy112234例9. 如图，函数的图象由两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式。例10.函数f (x )的图象关于原点成中心对称, 则f (x)在上的单调性是 ( )A. 增函数 B. 上是增函数, 上是减函数 C. 减函数 D. 上是减函数, 上是增函数 例11.函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线, 则的图象的顶点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限例12.不等式的解集为, 则函数的图象为 ( ) 考点5. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力.例13（2007年浙江卷文）已知（）若k = 2，求方程的解；（）若关于x的方程在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明考点6.以集合为背景的不等式以集合为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题.例14. （2007年北京卷文）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为（I）若，求；（II）若，求正数的取值范围考点7.以线性规划形式出现的不等式以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形,分析求解.例15.（2006 年辽宁卷）双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ）（A） （B）（C）（D）考点8.以简易逻辑为背景的不等式以简易逻辑为背景的不等式,解题时往往以不等式为工具,来确定命题,用简易逻辑知识解决问题.例16.（2006 年山东卷）设，则是的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件考点9.与函数的导数知识结合的不等式与函数的导数知识结合的不等式,解题时往往以不等式和函数的导数为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题.例17. （2006 年江西卷）已知函数在与时都取得极值.（1）求、的值及函数的单调区间;（2）若对,不等式恒成立,求的取值范围.考点10.与数列知识结合的不等式与数列知识结合的不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.例18.（2006 年湖北卷）设数列的前项和为，点均在函数的图像上.（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.考点11. 基本不等式例19（1）（04济宁一模5）已知，a、b的等差中项为，且，则的最小值是（ ）A3 B4 C5 D6（2）（06陕西文7）设x、y为正数，则的最小值为（ ）A6 B9 C12 D15考点12.不等式的实际应用不等式的实际应用题,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识,通过建立不等式模型,利用计算和推理来解决问题.例20.一段长为 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?【专题训练与高考预测】一.选择题1.y=的单调递减区间为（）A.(，3) B.(，1) C.1，+ D.3，12.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（）A.y= B.y= C.y=32x D.y=x2+2x+13.设f(x)是定义在A上的减函数，且f(x)0，则下列函数：y=32f(x),y=1+,y=f2(x),y=1，其中增函数的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.44关于x的方程9x+(a+4)3x+4=0有解，则实数a的取值范围是（ ）A（-，-80，+）B、（-，-4） -8，4） D、（-，-85已知，且，则的最大值是（ ）A B C1 D26若a0，b0，且2a+b=1，则S=2-4a2-b2的最大值是（ ）A B、 C、 D、7已知不等式m2(cos25)m4sin20恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A.0m4 B.1m4 Cm4或x0 D.m1或m0二.填空题8.已知，且，则的最小值为 9.已知f（x）是奇函数，当x（0，1）时，f（x）lg，那么当x（1，0）时， f（x）的表达式是_10. 记S=，则S与1的大小关系是 .11.当时,函数的最小值是_.12.实数满足,则的取值范围是_.三.解答题13. 设P: 函数在R上单调递减, Q: 不等式的解集为R. 如果P和Q有且仅有一个正确, 求的取值范围.14.已知函数的定义域为R, 对任意实数都有, 且, 当时，(1) 求;(2) 求和N*）；(3) 判断函数的单调性并证明15. 在某产品的制造过程中，次品率p依赖于日产量x，已知 其中x为正整数，又该厂每生产一正品可赢利A元，但每生产出一件次品就要损失元.(1) 将该厂的日赢利额T（元）表示为日产量x（个）的函数，并指出这个函数的定义域;(2)为了获得最大盈利，该厂的