[现代控制理论][04][李亚普诺夫稳定性分析.ppt

第五章 李亚普诺夫稳定性分析,5.1 几个稳定性概念 5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.3 李亚普诺夫方法在线性系统中应用 5.4 李雅普诺夫方法在非线性系统中应用,5.1 几个稳定性概念,定义5.1.1 自治系统:,零输入作用的系统,其中，x为n维状态向量，f(.,.)为维向量函数。,定义5.1.2 受扰运动：系统状态的零输入响应.,定义5.1.3 平衡状态：,称为x向量的欧氏范数,定义5.1.4 欧氏范数：,定义5.1.5 稳定,系统(5.1.1)中，,对 ,若,2005-11-5,则称 为李雅普诺夫意义下稳定的。,定义5.1.6 渐近稳定：,使得,则称 是渐近稳定的。,2005-11-5,2005-11-5,图5.1（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。,定义5.1.8 不稳定:,2005-11-5,时，,则称 是正定的（正半定的）。,如果条件3）中不等式的符号反向，则称 是负定的（负半定的）。,例5.1.1 1） 正定的 2） 半正定的 3） 负定的 4） 半负定的 5） 不定的,2005-11-5,定义5.1.10 二次型：,塞尔维斯特（Sylvester）定理：,例5.1.2 证明下列二次型函数是正定的。,矩阵 定号性的充要条件是：,2005-11-5,解：二次型 可以写为,所以,5.2 李雅普诺夫稳定性理论,5.2.1 李雅普诺夫第一方法,定理5.2.1,例5.2.1 已知非线性系统,2014-4-5,其中 常数，试分析其平衡状态的稳定性。,计算,由特征方程 ，得,设 则,2005-11-5,当 时，系统在 渐近稳定；,如果 ,其稳定性靠一次近似不能判断。,5.2.2 直接法,定理5.2.2 假设系统的状态方程为,如果存在一个具有连续偏导数的标量函数,并且满足条件：,1） 是正定的；,2） 是负定的。,那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。,原点处是大范围渐近稳定的,解: 显然，原点 是唯一平衡点，,取 ，则,2005-11-5,解: 系统具有唯一的平衡点,取,则,因为除原点处外， 不会恒等于零。,2005-11-5,则,于是知系统在原点处不稳定。,2005-11-5,1）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是 唯一的。,2）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定 性的信息。,3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。,4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得 出该系统稳 定性方面的任何结论。,5.2.3 几点说明,2005-11-5,5）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状 态的稳定性。,6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存在的。,5.3 李亚普诺夫方法在线性系统中应用,2005-11-5,5.3.1 稳定性分析,证明：充分性：考虑系统,其中,必要性：略。,2005-11-5,例5.3.1: 分析下列系统稳定性,解：令,2005-11-5,2005-11-5,因为,可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。,2005-11-5,设,则系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是方程,存在唯一正定对称解,的序列不恒等于零，则 可取半正定的。,定理 5.3.2,2005-11-5,由此解出,2005-11-5,5.3.2 利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题,(1) 问题描述 ：,从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的.,2005-11-5,(2) 必须逐渐稳定，否则问题无解。,(4)注意到 和 的函数，调节 使 最小。,2005-11-5,2005-11-5,解得,于是有,解: 由 ，知,5.4 李雅普诺夫方法在非线性系统中应用,2005-11-5,再令,于是得,将 代入上式，知 。,5.4.1 克拉索夫斯基方法,定理5.4.1 设系统的状态方程为,2005-11-5,令,系统的雅克比矩阵为,2005-11-5,2005-11-5,大范围渐近稳定。,所以,2005-11-5,解: 由,2005-11-5,更为普遍的克拉索夫斯基定理可表述如下： 设系统的状程态方为,2005-11-5,则系统在平衡状态大范围渐近稳定。,时，使得下式中的矩阵 为负定的,李雅普诺夫函数为,返回,4.5.2 变量梯度法,变量梯度法也叫舒茨一基布逊(ShultzGibson)法，这是他们在1962年提出的一种寻求李雅普诺夫函数较为实用的方法。,变量梯度法是以下列事实为基础的：即如果找到一个特定的李雅普诺夫函数 ，能够证明所给系统的平衡状态为渐近稳定的，那么，这个李雅普诺夫函数 的梯度：,必定存在且唯一。于是 对时间的导数可表达为：,或写成矩