2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程学案新人教A版.doc

2.4.1抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题.知识点一抛物线的定义思考1平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？答案连接两定点所得线段的垂直平分线.思考2平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？答案一条直线.思考3到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？答案抛物线.梳理(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于11).知识点二抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？答案(1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0).现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(，0)xy22px(p0)(，0)xx22py(p0)(0，)yx22py(p0)(0，)y类型一抛物线的定义及理解例1(1)动点M的坐标满足方程5|3x4y12|，则动点M的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2y21上运动，则点Q(xy，xy)的轨迹所在的曲线是_.(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)答案(1)C(2)抛物线解析(1)把方程5|3x4y12|转化为，设动点M(x，y)，上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x4y120的距离，所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x4y120为准线的抛物线.(2)设动点Q(x，y)，则有xxy， yxy，又有x2y21，即(xy)22xy1，所以x22y1，故Q(xy，xy)的轨迹所在的曲线是抛物线.反思与感悟抛物线的判断方法(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.跟踪训练1平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.解方法一设点P的坐标为(x，y)，则有|x|1，两边平方并化简得y22x2|x|.y2即点P的轨迹方程为y2方法二由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x0)且3，p6，抛物线的方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义得5|AF|.又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程.(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.跟踪训练3已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.解设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点F，由题意，得解得或故所求的抛物线方程为y28x，m2.抛物线的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x2.类型三抛物线在实际生活中的应用例4河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.跟踪训练4喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？解如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在抛物线上，所以165y0，即y0，所以OA的长为51.8(m).所以管柱OA的长为1.8 m.1.抛物线yx2的准线方程是()A.y1 B.y2 C.x1 D.x2答案A解析由yx2，得x24y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，因此准线方程为y1.2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A.4 B.2 C.4或4 D.12或2答案C解析由题可设抛物线的标准方程为x22py(p0)，由定义知点P到准线的距离为4，故24，p4，x28y.将点P的坐标代入x28y，得m4.3.若抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.答案2解析因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1，p2.4.若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.答案2解析抛物线y22px(p0)的准线方程是x，所以抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点F1(，0)，所以，解得p2.5.已知M为抛物线y24x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2，3)，则|MN|MF|的最小值为_.答案解析将x2代入抛物线方程，得y2.32，点N在抛物线的外部.|MN|MF|NF|，而易得F(1，0)，则|NF|，|MN|MF|，当N，M，F三点共线时有最小值，最小值为.1.焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点为F(，0)，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为F(0，)，准线方程为y.2.设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径.若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0.3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.40分钟课时作业一、选择题1.对抛物线y4x2，下列描述正确的是()A.开口向上，焦点为(0，1)B.开口向上，焦点为C.开口向右，焦点为(1，0)D.开口向右，焦点为答案B解析由y4x2得x2y，开口向上，焦点坐标为.2.已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1，1)，则该抛物线的焦点坐标为()A.(1，0) B.(1，0) C.(0，1) D.(0，1)答案B解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题设知1，即p2，故焦点坐标为.故选B.3.已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A. B.1 C.2 D.4答案C解析抛物线y22px的准线方程为x，它与圆相切，所以必有34，p2.4.已知抛物线C1：y2x2与抛物线C2关于直线yx对称，则C2的准线方程是()A.x B.x C.x D.x答案C解析y2x2关于yx对称的曲线为抛物线y2x，其准线方程为x.5.若点P在抛物线y2x上，点Q在圆(x3)2y21上，则|PQ|的最小值是()A.1 B.1 C.2 D.1答案D解析设圆(x3)2y21的圆心为O(3，0)，要求|PQ|的最小值，只需求|PO|的最小值.设点P坐标为(y，y0)，则|PO|，|PO|的最小值为，从而|PQ|的最小值为1.故选D.6.已知直线l与抛物线y28x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是()A. B. C. D.25答案A解析抛物线的焦点F坐标为(2，0)，直线l的方程为y(x2).由得B点的坐标为(，2).|AB|AF|BF|282.AB的中点到准线的距离为.二、填空题7.以坐标原点为顶点，(1，0)为焦点的抛物线的方程为_.答案y24x解析由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则有1，得p2，所以抛物线的方程为y24x.8.以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_.答案y216x解析双曲线的方程为1，右顶点为(4，0).设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则4，即p8，抛物线的标准方程为y216x.9.已知抛物线y22x上一点P(m，2)，则m_，点P到抛物线的焦点F的距离为_.答案2解析将(m，2)代入抛物线中得42m，得m2，由抛物线的定义可知点P到抛物线的焦点F的距离为2.10.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为_.答案解析如图所示，由已知，得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B(，1).将其代入y22px，得12p，解得p，故点B到准线的距离为p.三、解答题11.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过1的一个焦点，而且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程.解因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y22px(p0)，将点代入方程得p2，所以抛物线方程为y24x.准线方程为x1，由此可知双曲线方程中c1，焦点为(1，0)，(1，0)，点到两焦点距离之差2a1，所以双曲线的标准方程为1.12.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？请说明理由.解如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为yax2，则A(10，2)在抛物线上，即2(10)2a，a，即抛物线的方程为yx2.让货船沿正中央航行，船宽16米，而当x8时，y821.28(米).又船体在x8之间通过，即B(8，1.28)，此时B点离水面高度为6(1.28)4.72(米)，而船体水面高度为5米，所以无法直接通过.又54.720.28(米)，0.280.047，而15071 050(吨)，又1 0501 000，所以用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降.13.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F