2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程疑难规律方法学案苏教版.doc

第二章 圆锥曲线与方程1圆锥曲线定义的妙用1求动点轨迹例1一动圆与两圆：x2y21和x2y26x50都外切，则动圆圆心的轨迹为_解析x2y21是圆心为原点，半径为1的圆，x2y26x50化为标准方程为(x3)2y24，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则PAPO1b0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，的值等于_解析在ABC中，由正弦定理得，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CACB2a，而AB2c，所以3.答案33求离心率例3如图，F1、F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_解析由椭圆可知AF1AF24，F1F22.因为四边形AF1BF2为矩形，所以AFAFF1F12，所以2AF1AF2(AF1AF2)2(AFAF)16124，所以(AF2AF1)2AFAF2AF1AF21248，所以AF2AF12.因此对于双曲线有a，c，所以C2的离心率e.答案例4已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，则此双曲线的离心率e的取值范围是_解析由双曲线的定义有PF1PF22a.又PF14PF2，PF1a，PF2a.在PF1F2中，应有PF1PF2F1F2，即a2c，e，又e1，离心率e的取值范围是(1，答案(1，4求最值例5线段AB4，PAPB6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是_解析由于PAPB64AB，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a3，c2，b.于是PM的长度的最小值是b.答案例6已知F是双曲线y21的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求PMPF的最小值解设双曲线的左焦点为F，如图所示，则F(2,0)由双曲线的定义知，PFPF2a2，所以PFPF2，所以PMPFPMPF2，要使PMPF取得最小值，只需PMPF取得最小值，由图可知，当P、F、M三点共线时，PMPF最小，此时MF2，故PMPF的最小值为22.2抛物线的焦点弦性质例1过抛物线y22px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明：(1)ABx1x2p；(2)通径长为2p；(3)x1x2，y1y2p2；(4)若直线AB的倾斜角为，则AB；(5)以AB为直径的圆与准线相切；(6).证明(1)由定义可得ABAFFBx1x2x1x2p.(2)过焦点F(，0)与x轴垂直的直线被抛物线截得的弦长为2p.(3)当ABx轴时，易得A(，p)，B(，p)，y1y2p2，x1x2.当AB的斜率存在时，设为k(k0)，则直线AB的方程为yk(x)，代入抛物线方程y22px，消元得y22p()，即y2p20，y1y2p2，x1x2.综合知，x1x2，y1y22p2.(4)当90时，k不存在，易得A(，p)，B(，p)，AB2p.当90时，ktan ，直线AB方程为ytan (x)，联立方程组，由根与系数的关系，得ABpx1x2.(5)如图，MM1，故以AB为直径的圆与准线相切(6)AFx1，BFx2，.例2过抛物线y22px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)证明：(1)若AO交准线于C，则直线CB平行于抛物线的对称轴；(2)过B作BC准线l，垂点为C，则AC过原点O.证明(1)设直线AB的方程为xmy，代入y22px，得y22pmyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2p2.由yx，x联立，得C(，)，yCy2，BCx轴(2)设直线AB的方程为xmy，代入y22px，得y22pmyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2p2.BCx轴，C(，y2)，即C(，)，kOCkOA，OO且公共点为O，直线AC过点O.例3设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|_.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)由0，知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.答案63 巧解直线和椭圆位置关系问题“设而不求”法的应用在直线和椭圆位置关系问题中，设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用当直线和椭圆相交时要切记0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分例已知椭圆方程为1(ab0)，过点A(a,0)，B(0，b)的直线的倾斜角为，原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D(1,0)与椭圆分别交于点E，F，若2，求直线EF的方程；(3)对于D(1,0)，是否存在实数k，使得直线ykx2分别交椭圆于点P，Q，且DPDQ，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由思路点拨解(1)由，ab，得a，b1，所以椭圆的方程是y21.(2)设EF：xmy1(m0)，代入y21，得(m23)y22my20.设E(x1，y1)，F(x2，y2)由2，得y12y2，由y1y2y2，y1y22y，得()2，m1，m1(舍去)，直线EF的方程为xy1，即xy10.(3)记P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(3k21)x212kx90，(*)x1，x2是此方程的两个相异实根设PQ的中点为M，则xM，yMkxM2.由DPDQ，得DMPQ，kDM，3k24k10，得k1或k.但k1，k均不能使方程(*)有两相异实根，满足条件的k不存在.4解析几何中的定值与最值问题1定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口例1已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，与a(3，1)共线设M为椭圆上任意一点，且 (，R)，求证：22为定值证明M是椭圆上任意一点，若M与A重合，则，此时1，0，221，现在需要证明22为定值1.设椭圆方程为1 (ab0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，得0，即，又kAB1，y0x0，直线ON的方向向量为.a，.a23b2，椭圆方程为x23y23b2.又直线方程为yxc，联立方程得得4x26cx3c23b20.x1x2c，x1x2c2.又设M(x，y)，则由，得代入椭圆方程整理得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.又x3y3b2，x3y3b2，x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c2c2c23c20，221，故22为定值例2已知椭圆1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应的P点坐标(1)证明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.当x1x2时，由得.设线段PQ的中点为N(1，n)，kPQ，线段PQ的垂直平分线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一个定点A(，0)；当x1x2时，线段PQ的中垂线也过定点A(，0)综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A(，0)(2)解由于点B与点A关于原点O对称，故点B(，0)2x12，2x22，x12x20,2，PB2(x1)2y(x11)2，当点P的坐标为(0，)时，PBmin.2最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值例3已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值解(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有|x|1.化简得y22x2|x|.当x0时，y24x；当x0时，y0.所以，动点P的轨迹C的方程为y24x (x0)和y0 (x0)，则圆的方程可设为(xp)2(yp)28，由于O(0,0)在圆上，p2p28，解得p2，圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知，2a10，a5，椭圆右焦点为F(4,0)假设存在异于原点的点Q(m，n)，使QFOF，则有且m2n20，解得故圆C上存在满足条件的点Q，点Q的坐标为.3直线存在型问题例3已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0,2)，离心率为.(1)求椭圆P的方程；(2)是否存在过点E(0，4)的直线l交椭圆P于点R，T，且满足.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆P的方程为1(ab0)，由题意，得b2，e，a2c，b2a2c23c2，则c24，c2，a4，椭圆P的方程为1.(2)假设存在满足题意的直线l.易知当直线l的斜率不存在时，12，不满足题意故可设直线l的方程为ykx4，R(x1，y1)，T(x2，y2)，x1x2y1y2.由得(34k2)x232kx160，由0得(32k)24(34k2)160，解得k2.x1x2，x1x2，y1y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)16，故x1x2y1y216，解得k21，由解得k1，直线l的方程为yx4.故存在直线l：xy40或xy40满足题意6圆锥曲线中的易错点剖析1忽视定义中的条件而致误例1平面内一点M到两定点F1(0，4)，F2(0,4)的距离之和为8，则点M的轨迹为_错解根据椭圆的定义知，点M的轨迹为椭圆错因分析在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即MF1MF2F1F2，即2a2c.而在本题中MF1MF2F1F2，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.正解因为点M到两定点F1，F2的距离之和为F1F2，所以点M的轨迹是线段F1F2.答案线段2忽视标准方程的特征而致误例2设抛物线ymx2 (m0)的准线与直线y1的距离为3，求抛物线的标准方程错解抛物线ymx2 (m0)的准线方程为y.又与直线y1的距离为3的直线为y2或y4.故2或4.所以m8或m16.所以抛物线的标准方程为y8x2或y16x2.错因分析错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2y的形式，再求解.正解方程ymx2 (m0)可化为x2y，其准线方程为y.由题意知2或4，解得m或m.则所求抛物线的标准方程为x28y或x216y.3涉及弦长问题时，忽视判别式0这一隐含条件而致误例3正方形ABCD的A，B两点在抛物线yx2上，另两点C，D在直线yx4上，求正方形的边长错解AB与直线yx4平行，设直线AB的方程为yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，则由x2xb0，得AB2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB与直线yx4间的距离为d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，AB3或AB5.错因分析在考虑直线AB与抛物线相交时，必须有方程x2xb0的判别式0，以此来限制b的取舍.正解AB与直线yx4平行，设直线AB的方程为yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，则由x2xb0，14b0，b.AB2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB与直线yx4间的距离为d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，b2或b6都满足0，b2或b6.AB3或AB5.7圆锥曲线中的数学思想方法1方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决在本章中，方程思想的应用最为广泛例1已知直线yx2和椭圆1 (ab0)相交于A，B两点，且a2b，若AB2，求椭圆的方程解由消去y并整理，得x24x82b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x24，x1x282b2.AB2， 2，即2，解得b24，故a24b216.所求椭圆的方程为1.2函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法例2若点(x，y)在1 (b0