2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质学案新人教A版.doc

2.4.2抛物线的简单几何性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y22px(p0)如何确定横坐标x的范围？答案(1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.(2)由抛物线y22px(p0)有所以x0.所以抛物线x的范围为x0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.梳理抛物线y22px(p0)中，x0，)，y(，).抛物线y22px(p0)中，x(，0，y(，).抛物线x22py(p0)中，x(，)，y0，).抛物线x22py(p0)中，x(，)，y(，0.知识点二四种形式的抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)准线方程xxyy顶点坐标O(0，0)离心率e1通径长2p知识点三直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的个数. 当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若0时，直线与抛物线有一个公共点；若0).抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6.抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3或x3.引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.解由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点F(，0)，直线l：x，所以A，B两点坐标为(，m)，(，m)，所以|AB|2|m|.因为OAB的面积为4，所以|2|m|4，所以m2.所以抛物线的标准方程为y24x.反思与感悟用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交于A，B两点，|AB|2，求抛物线方程.解由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2ax(a0).设抛物线与圆x2y24的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).抛物线y2ax(a0)与圆x2y24都关于x轴对称，点A与B关于x轴对称，|y1|y2|且|y1|y2|2，|y1|y2|，代入圆x2y24，得x234，x1，A(1，)或A(1，)，代入抛物线方程，得()2a，a3.所求抛物线方程是y23x或y23x.类型二抛物线的焦半径和焦点弦问题例2(1)过抛物线y28x的焦点，倾斜角为45的直线被抛物线截得的弦长为_.(2) 直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_.(3)过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_.答案(1)16(2)xy10或xy10(3)解析(1)由抛物线y28x的焦点为(2，0)，得直线的方程为yx2，代入y28x得(x2)28x即x212x40.所以x1x212，弦长为x1x2p12416.(2)抛物线y24x的焦点坐标为(1，0)，若l与x轴垂直，则|AB|4，不符合题意，可设所求直线l的方程为yk(x1).由得k2x2(2k24)xk20，则由根与系数的关系，得x1x2.又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|x1x2p28，6，解得k1.所求直线l的方程为xy10或xy10.(3)抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为，又准线方程为x1，因此点M到抛物线准线的距离为 1.反思与感悟(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：抛物线y22px(p0)，|PF|x0|x0；抛物线y22px(p0)，|PF|x0|x0；抛物线x22py(p0)，|PF|y0|y0；抛物线x22py(p0)，|PF|y0|y0.(2)已知AB是过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y1y2p2，x1x2；|AB|x1x2p(为直线AB的倾斜角)；SABO(为直线AB的倾斜角)；以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.跟踪训练2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离.解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直线l的方程为y. 联立消去y得x25x0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.类型三抛物线综合问题命题角度1与抛物线有关的最值问题例3抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(1，0)，求的最小值.解抛物线y24x的准线方程为x1，如图，过点P作PN垂直x1于点N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，连接PA，在RtPAN中，sinPAN，当最小时，sinPAN最小，即PAN最小，即PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为yk(x1)，联立得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，cosNPA.反思与感悟(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点.(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.跟踪训练3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.2 B.3 C. D.答案A解析由题意知，直线l2：x1为抛物线y24x的准线.由抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离.故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得点P到点F(1，0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线 l1：4x3y60的距离，即d2.命题角度2定值或定点问题例4抛物线y22px(p0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列.(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q.(2)若|MF|4，|OQ|6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.(1)证明设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则|AF|x1，|BF|x2，|MF|x0，x0为已知值.由题意得x0，线段AB的中点坐标可设为(x0，t)，其中t0(否则|AF|MF|BF|p0).而kAB，故线段AB的垂直平分线的方程为yt(xx0)，即t(xx0p)yp0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0p，0).(2)解由(1)知|MF|4，|OQ|6，得x04，x0p6，联立解得p4，x02.抛物线方程为y28x.反思与感悟在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等.跟踪训练4在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点，4，求证：直线l必过一定点.证明设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.又x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，解得b2，故直线过定点(2，0).1.已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A. B.1 C. D.答案C解析因为抛物线C：y22px的准线为x，且点A(2，3)在准线上，故2，解得p4，所以y28x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF.2.已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B.3 C. D.答案A解析抛物线y22x的焦点为F(，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0，2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0，2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0，2)的距离，因此所求距离之和的最小值为.3.过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|_.答案8解析易知抛物线的准线方程为x1，则线段AB的中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义易得|AB|8.4.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.答案2解析设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，易知过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为45的直线的方程为yx，把xy代入y22px，得y22pyp20，y1y22p，y1y2p2.|AB|8，|y1y2|4，(y1y2)24y1y2(4)2，即(2p)24(p2)32.又p0，p2.5.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|AF|，则AFK的面积为_.答案8解析易知F(2，0)，K(2，0)，过点A作AM垂直准线于点M，则|AM|AF|，|AK|AM|，AMK为等腰直角三角形.设A(m2，2m)(m0)，则AFK的面积S42m4m.又由|AK|AM|，得(m22)28m22(m22)2，解得m，AFK的面积S4m8. 1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.40分钟课时作业一、选择题1.已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y24x50相切，则p的值为()A.2 B.1 C. D.答案A解析曲线的标准方程为(x2)2y29，其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x，由抛物线的准线与圆相切得23，解得p2.2.抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则p的值为()A.2 B.4 C.6 D.8答案D解析OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.圆的面积为36，圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|，6，p8.3.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是()A. B. C. D.3答案A解析设抛物线yx2上一点为(m，m2)，该点到直线4x3y80的距离为，当m时，取得最小值为.4.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为345，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形()A.不存在 B.必是锐角三角形C.必是钝角三角形 D.必是直角三角形答案B解析设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x13k，x24k，x35k(k0)，由抛物线定义得|FA|3k，|FB|4k，|FC|5k，易知三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形.5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是()A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2答案B解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，2p).所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.6.已知点(x，y)在抛物线y24x上，则zx2y23的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.0答案B解析因为点(x，y)在抛物线y24x上，所以x0，因为zx2y23x22x3(x1)22，所以当x0时，z最小，其值为3.二、填空题7.当x1时，直线yaxa恒在抛物线yx2的下方，则a的取值范围是_.答案(，4)解析由题可知，联立整理可得x2axa0，当a24a0时，解得a0或a4，此时直线与抛物线相切.因为直线恒过定点(1，0)，所以结合图形(图略)可知a(，4).8.已知抛物线y28x，过动点M(a，0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|8，则实数a的取值范围是_.答案(2，1解析将l的方程yxa代入y28x，得x22(a4)xa20，则4(a4)24a20，a2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(a4)，x1x2a2，|AB|8，即1.又|AB|0，20)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2p，2p)，则其焦点弦的长度为_.答案解析由题意知直线l过(，0)和(2p，2p)，所以l：y(x).联立整理得8x217px2p20.由根与系数的关系，得x1x2，所以焦点弦的长度为x1x2p.10.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_.答案y24x解析设抛物线方程为y2kx，与yx联立方程组，消去y，得x2kx0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x2k.又P(2，2)为AB的中点，2.k4.y24x.三、解答题11.已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x2y10所得的弦长为，求此抛物线的方程.解设抛物线方程为x2ay(a0)，由方程组消去y，得2x2axa0.直线与抛物线有两个交点，(a)242a0，即a8.设两交点分别为A(x1，y1)