2018版高中数学第二章平面向量2.2.3向量的数乘学案苏教版.doc

2.2.3向量的数乘学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题知识点一向量数乘的定义思考1实数与向量相乘结果是实数还是向量？思考2向量3a，3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？梳理向量的数乘实数与向量a的积是一个_，记作_，它的长度与方向规定如下：(1)|a|_；(2)a (a0)的方向当0或a0时，a0.实数与向量a相乘，叫做向量的数乘知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？梳理向量数乘的运算律(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.知识点三向量共线定理思考若b与非零向量a共线，是否存在满足ba？若b与向量a共线呢？梳理(1)向量共线定理如果有一个实数，使b_(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使b_.(2)向量的线性运算向量的_、_、_运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b)_.类型一向量数乘的基本运算例1(1)化简：2(2a4b)4(5a2b)(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x2ya，4x3yb，求向量x，y.反思与感悟(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算跟踪训练1(1)计算：(ab)3(ab)8a.(2)若2(cb3y)b0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y_.类型二向量共线的判定及应用例2已知非零向量e1，e2不共线(1)若ae1e2，b3e12e2，判断向量a，b是否共线(2)若e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线反思与感悟(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用ba(a0)，还要说明向量a，b有公共点跟踪训练2已知非零向量e1，e2不共线，如果e12e2，5e16e2，7e12e2，则共线的三个点是_例3已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定k的值反思与感悟利用向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值跟踪训练3已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，则xy_.类型三用已知向量表示其他向量例4在ABC中，a，b，若点D满足2，则_.(用a，b表示)反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程跟踪训练4如图，在ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，3a，2b，求，.1已知a5e，b3e，c4e，则2a3bc_.2在ABC中，M是BC的中点，则_.3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线，则k_.4若2(ya)(cb3y)b0，其中a，b，c为已知向量，则向量y_.(用a，b，c表示)5如图所示，已知，用，表示.1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的2a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍向量表示与向量a同向的单位向量3向量共线定理是证明三点共线的重要工具即三点共线问题通常转化为向量共线问题4已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)，A，P，B三点共线mn1.答案精析问题导学知识点一思考1向量思考23a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反梳理向量a(1)|a|(2)00知识点二思考结合律，分配律知识点三思考若b与非零向量a共线，存在满足ba；若b与向量a共线，当a0，b0时，不存在满足ba.梳理(1)aa(2)加法减法数乘1a2b题型探究例1解2(2a4b)4(5a2b)(4a8b20a8b)(16a16b)4a4b.(2)解由32，得x3a2b，代入得3(3a2b)2ya，所以x3a2b，y4a3b.跟踪训练1解(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a2a4b8a10a4b.(2)abc解析因为2(cb3y)b0，3yabc0，所以yabc.例2解b6a，a与b共线(2)证明e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.，共线，且有公共点B，A、B、D三点共线跟踪训练2A，B，D例3解ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)