2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程学案新人教A版.doc

2.1.1曲线与方程学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.知识点一曲线与方程的概念思考1设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？(1)P|PAPB(A，B是两个定点)；(2)P|PO3 cm(O为定点).答案(1)线段AB的垂直平分线；(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆.思考2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案yx.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0x0或y0x0，即(x0，y0)是方程yx的解；反之，如果(x0，y0)是方程yx或yx的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.梳理一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考1曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解，能否说f(x，y)0是曲线C的方程？试举例说明.答案不能.还要验证以方程f(x，y)0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2y24”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2y24.思考2方程0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程xy0呢？答案方程0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程0的解.例如，点A(2，2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点.方程xy0能够表示第一、三象限的角平分线.梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1曲线与方程的判定例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是正确的，下列命题中正确的是()A.方程f(x，y)0的曲线是CB.方程f(x，y)0的曲线不一定是CC.f(x，y)0是曲线C的方程D.以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上答案B解析不论方程f(x，y)0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、C、D错误.举例如下：曲线C：一、三象限角平分线，方程为|x|y|，显然满足已知条件，但A、C、D错.反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.跟踪训练1设方程f(x，y)0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)0C.坐标满足方程f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0答案D解析“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A、C错，B显然错.命题角度2曲线与方程的概念应用例2证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xyk.证明如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|y0|k，即(x0，y0)是方程xyk的解.设点M1的坐标(x1，y1)是方程xyk的解，则x1y1k，即|x1|y1|k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由可知，xyk是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k0)的点的轨迹方程.反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.跟踪训练2写出方程(xy1)0表示的曲线.解由方程(xy1)0可得或0.即xy10(x1)或x1，方程表示直线x1和射线xy10(x1).类型二曲线与方程关系的应用例3已知方程x2(y1)210.(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值.解(1)12(21)210，()2(31)2610，P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上.(2)M在方程x2(y1)210表示的曲线上，2(m1)210.解得m2或m.反思与感悟判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.跟踪训练3若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR)，求k的取值范围.解曲线y2xy2xk0过点(a，a)，a2a22ak0.k2a22a22.k，k的取值范围是.1.曲线f(x，y)0关于直线xy30对称的曲线方程为()A.f(x3，y)0 B.f(y3，x)0C.f(y3，x3)0 D.f(y3，x3)0答案D解析由对称轴xy30得xy3，yx3可知D正确.2.方程xy2x2y2x所表示的曲线()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线xy0对称答案C解析同时以x代替x，以y代替y，方程不变，所以方程xy2x2y2x所表示的曲线关于原点对称.3.方程4x2y26x3y0表示的图形为_.答案两条相交直线解析原方程可化为(2xy)(2xy3)0，即2xy0或2xy30，原方程表示直线2xy0和直线2xy30.4.若曲线ax2by24过点A(0，2)，B(，)，则a_，b_.答案41解析曲线过A(0，2)，B(，)两点，5.方程(x24)2(y24)20表示的图形是_.答案4个点解析由题意，得或或或方程(x24)2(y24)20表示的图形是4个点.1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.40分钟课时作业一、选择题1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析结合曲线方程的定义易得.2.曲线C的方程为y2x1(1x5)，则下列四个点中在曲线C上的是()A. (0，0) B.(7，15) C.(2，3) D.(4，4)答案C解析由y2x1(1x5)得A，B的横坐标不满足题意，D项中坐标代入后不满足方程，故选C.3.方程|x|y|xy|1表示的曲线是()A.一条直线 B.一个正方形C.一个圆 D.四条直线答案D解析由|x|y|xy|1得(|x|1)(|y|1)0，即x1或y1，因此该方程表示四条直线.4.下列方程对应的曲线是同一条曲线的是()y；y；ylogaax；y.A. B. C. D.答案B解析由ylogaaxx，yx，得表示同一条曲线.5.过坐标原点O作单位圆x2y21的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得ab(a，bR)，则以下说法正确的是()A.点P(a，b)一定在单位圆内B.点P(a，b)一定在单位圆上C.点P(a，b)一定在单位圆外D.当且仅当ab0时，点P(a，b)在单位圆上答案B解析2(ab)2，且，a2b22aba2b21，因此点P(a，b)一定在单位圆上，故选B.6.方程|x|y|0表示的图形是下图中的()答案C解析由|x|y|0知yx，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线.7.已知两定点A(2，0)，B(1，0)，若动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所围的面积为()A.9 B.8 C.4 D.答案C解析设P(x，y)，|PA|2|PB|，(x2)2y24(x1)24y2，(x2)2y24.点P的轨迹为以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，所围成的面积S224.二、填空题8.设命题甲：点P的坐标适合方程f(x，y)0，命题乙：点P在曲线C上，命题丙：点Q坐标不适合f(x，y)0，命题丁：点Q不在曲线C上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的_条件.答案充分不必要解析依题意可知，曲线C上的点都满足方程，但以满足方程f(x，y)0的解为坐标的点不一定都在曲线C上，那么逆否命题为不满足方程的解为坐标的点一定不在曲线C上，从而丙是丁的充分条件，但不是必要条件.9.方程(x1)20表示的是_.答案点(1，2) 解析由(x1)20，知(x1)20且0即x1且y2，所以(x1)20表示的是点(1，2).10.在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.答案(x1)2y22解析直线mxy2m10恒过定点(2，1)，由题意，得半径最大的圆的半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.三、解答题11.直线yx2与曲线y22x相交于A，B两点，求证：OAOB.证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，得x26x40，由x1x26，x1x24，从而有y1y2(x12)(x22)x1x22(x1x2)441244.又(x1，y1)，(x2，y2)，x1x2y1y2440，即OAOB.12.已知曲线C的方程为x，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积.解由x，得x2y24.又x0，方程x表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面