人教版高中数学2.2.2第1课时对数函数的图象及性质.ppt

2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质,一、对数函数的定义 1.解析式：_. 2.自变量：_. 思考：为什么在对数函数中要求a0，且a1？ 提示：根据对数式与指数式的关系知,y=logax可化为ay=x， 联想指数函数中底数的范围，可知a0，且a1.,y=logax(a0，且a1),x,二、对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象 请在下列给出的平面直角坐标系中分别画出0a1和a1时的对数函数的图象 01,2.对数函数y=logax(a0,且a1)的性质,(0,+),R,(1,0),1,0,(0,+),减函数,(0,+),增函数,判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)对数函数的图象一定在y轴右侧.( ) (2)对数函数y=logax(a0,且a1)在(0，+)上是增函数.( ) (3)当a1时，若x1,则logax0.( ),提示：(1)正确.通过a1和01时，对数函数y=logax在(0，+)上是增函数；当01时，对数函数y=logax在(0，+)上是增函数，若x1,则logaxloga1=0. 答案：(1) (2) (3),三、反函数 在a0且a1的前提下根据反函数的定义回答下列问题： 1.y=ax的反函数是_. 2.y=logax的反函数是_. 思考：若函数y=ax的图象过点(m,n)，则函数y=logax的图象 一定会过点(n,m)吗？ 提示：若函数y=ax的图象过点(m,n)，则有n=am，将其化为对 数式有m=logan，这说明函数y=logax的图象一定会过点(n,m).,y=logax,y=ax,【知识点拨】 1.对数函数概念的理解 (1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如 y=log2(x-1)，y=log2 都不是对数函数，可称其为对数型函数. (2)由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x恰好是 指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0,+).,2.对数函数图象和性质的关系,3.底数对对数函数图象的影响 (1)依据：对数函数y=logax(a0且a1)的图象与直线y=1的交点是(a,1).,(2)对图象的影响：比较图象与y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.也就是说，沿直线y=1由左向右看，底数a增大(如图).,4.对反函数的解读 (1)函数y=ax与函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称. (2)从反函数的定义可知，任意一个函数不一定有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数.,类型 一 对数函数的概念 【典型例题】 1.给出下列函数. (1)y= (2)y=log3(x-1). (3)y=logx+1x. (4)y=logx. 其中是对数函数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,2.(2013大庆高一检测)若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且 a1)的反函数，其图象经过点( ),则a=_.,【解题探究】1.判断一个函数是否为对数函数的依据是什么？ 2.函数y=ax(a0,且a1)的反函数是什么？题2中可用什么方法求函数f(x)的解析式？ 探究提示： 1.依据有以下三条：(1)对数符号前面的系数为1.(2)对数的底数是大于0且不等于1的常数.(3)对数的真数只有自变量x. 2.函数y=ax(a0,且a1)的反函数是y=logax(a0,且a1).题2中可用待定系数法求其解析式.,【解析】1.选A.(1)(2)不是对数函数，因为对数的真数不是 只含有自变量x. (3)不是对数函数，因为对数的底数不是常数. (4)是对数函数. 2.函数y=ax(a0,且a1)的反函数是y=logax(a0,且a1), 因为其图象经过点( )， 所以 所以 又a0,所以 答案：,【拓展提升】 1.从“三方面”判断一个函数是否是对数函数,2.确定对数函数解析式的步骤 (1)设：用待定系数法先设出对数函数的解析式：y=logax (a0,a1). (2)列：通过已知条件建立关于参数a的方程. (3)求：求出a的值.,【变式训练】f(x)是对数函数，若 则 =_.,【解题指南】先用待定系数法求出对数函数f(x)的解析式， 然后求值. 【解析】f(x)是对数函数， 设f(x)=logax(a0,a1)， =2.又a0，a=4， 答案：2,类型 二 求对数型函数的定义域和函数值 【典型例题】 1.(2013衡水高一检测)已知函数 那么f(f( )的值为( ) A.27 B. C.-27 D. 2.函数 的定义域是_. 3.已知函数y=loga(1-ax)(a0,且a1)，求函数的定义域.,【解题探究】1.求分段函数的函数值要注意什么？ 2.求题2函数的定义域时，自变量的限制条件有哪些？ 3.题3中字母a的取值对求此函数的定义域有什么影响？ 探究提示： 1.求分段函数的函数值要注意分段代入计算，也就是先判断自变量属于哪段区间再代入计算. 2.自变量的限制条件有以下三点：(1)分母不等于零.(2)二次根式中被开方数为非负数.(3)对数的真数大于零. 3.解指数不等式1-ax0时，应分01两种情况讨论.,【解析】1.选B.f( )=log2 =-3， f(f( )=f(-3)=3-3= 2.由题意得 解得1x2, 的定义域为(1,2) 答案：(1,2),3.由1-ax0得ax0. (2)当a1时，有x1时，函数y=loga(1-ax)的定义域是(-,0).,【拓展提升】 1.求分段函数的函数值的两个基本步骤 (1)判断自变量所属的取值范围. (2)把自变量的值代入相应取值范围的解析式中进行计算. 2.求函数的定义域的限制条件 (1)分母不等于零.(2)根指数为偶数时，被开方数为非负数.(3)对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.,【变式训练】求下列函数的定义域. (1) (2)ylog(2x1)(4x8),【解析】(1)由 得 解得x 且x1. 的定义域为x|x 且x1 (2)由题意得 解得 ylog(2x1)(4x8)的定义域为x| x2，且x1,类型 三 对数函数的图象问题 【典型例题】 1(2013杭州高一检测)已知函数f(x)lnx，g(x)lgx，h(x)log3x，直线ya(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( ) A.x2x3x1 B.x1x3x2 C.x1x2x3 D.x3x2x1,2.(2013张掖高一检测)函数y=loga(2x-3)+1的图象恒过定点P,则点P的坐标是_ 3.作出函数y=|lg(x-1)|的图象.,【解题探究】1.将不同底数的对数函数的图象画在同一平面直角坐标系中，若沿直线y=a(a0)自左向右观察能得到什么结论？ 2.解对数型函数图象恒过定点问题的依据是什么？如何求定点坐标？ 3.函数|f(x)|与函数f(x)的图象有什么关系？,探究提示： 1.将不同底数的对数函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，沿直线y=a(a0)自左向右看对数函数的底数逐渐减小. 2.依据是loga1=0.求定点坐标可以先令对数的真数等于1，求出所过定点的横坐标，再计算出纵坐标. 3.将函数f(x)的图象在x轴上方的部分保留，将x轴下方的部分翻折到x轴上方就可以得到函数|f(x)|的图象.,【解析】1.选A.分别作出三个函数的大致图象，如图所示.由图可知，x2x3x1.,2.当2x-3=1，即x=2时，对任意的a0,且a1都有y=loga1+1=0+1=1，所以函数图象y=loga(2x-3)+1恒过定点(2,1)，故点P的坐标是(2,1). 答案：(2,1),3.(1)先画出函数y=lgx的图象(如图). (2)再画出函数y=lg(x-1)的图象(如图).,(3)最后画出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图).,【互动探究】把题3的函数改为“y=lg|x-1|”，画出此时函数的图象.,【解析】(1)先画出函数y=lgx的图象(如图).,(2)再画出函数y=lg|x|的图象(如图).,(3)最后画出函数y=lg|x-1|的图象(如图).,【拓展提升】 1.画函数图象的两类常用方法,2.两个函数图象的对称性 (1) (2),3.对数型函数图象恒过定点问题 解决此类问题的根据是对任意的a0,且a1，都有loga1=0.例如，解答函数y=m+logaf(x)(a0,且a1)的图象恒过定点问题时，只需令f(x)=1求出x，即得定点(x,m).,【易错误区】忽视底数取值范围对函数图象的影响致误 【典例】(2013长春高一检测)已知f(x)=ax,g(x)=logax (a0且a1),若f(3)g(3)0,则f(x)与g(x)在同一坐标系里 的图象是( ),【解析】选C.a0且a1,f(3)=a30.又f(3)g(3)0, g(3)=loga30,0a1,f(x)=ax在R上是减函数 g(x)=logax在(0，+)上是减函数，故选C.,【类题试解】若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图，其中a,b为常数，则函数g(x)=ax+b的图象大致是( ),【解析】选D.由函数f(x)=loga(x+b)的图象可知, 函数f(x)=loga(x+b)在(-b,+)上是减函数. 所以0a1，-1-b0,故0b1. 因为0a1,所以g(x)=ax+b在R上是减函数，故排除A，B. 因为0b1,函数g(x)=ax+b的值域为(b,+), 所以g(x)=ax+b的图象应在直线y=b的上方，故排除C.,【误区警示】,【防范措施】 1.记准指数函数、对数函数的图象 指数函数和对数函数的图象都可以分为底数a1和0a1两种类型，如本例中只要确定了0a1，函数图象的变化趋势也就确定了.,2.正确利用函数性质确定字母的范围 当a1时，若x0,则ax1, 若x0,则01. 当a1时，若01，则logax0; 当00,若x1，则logax0, 然后由loga30可知0a1.,1.对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( ) A.y=log2x B.y= C.y= D.y=log4x,【解析】选A.设此对数函数为y=logax(a0,且a1). 对数函数的图象过点M(16,4), 4=loga16，a4=16. 又a0,a=2, 此对数函数为y=log2x.,2.当a1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与ylogax的图象是( ) 【解析】选A.当a1时，ylogax单调递增，y=a-x单调递减，故选A,3.设集合A=x|y=lgx,B=y|y=lgx，则下列关系中正确的 是( ) A.AB=A B.AB= C.A=B D.AB 【解析】选D.A=x|y=lgx=(0,+),B=y|y=lgx=R, AB.,4.函数y=lnx,x(0,+)的反函数是_. 【解析】函数y=lnx,x(0,+)的反函数是y