原子的周期性阵列晶格类型晶面指数.ppt

固体物理导论 张国成 ,研究對象 基本粒子物理(elementary particle physics) 原子核物理(nuclear physics) 原子分子物理(atomic and molecular physics) 凝聚态物理(condensed matter physics) 表面物理(surface physics) 等离子体物理(plasma physics),近代物理以研究对象作为分类依据,凝聚态物理的研究对象除晶体、非晶体与准晶体等固相物质外还包括从稠密气体、液体以及介于液态和固态之间的各类居间凝聚相，例如液氦、液晶、熔盐、液态金属、电解液、玻璃、凝胶等。,固体物理研究对象 固体物理是研究固体结构及其组成粒子(原子、离子、电子)之间相互作用与运动规律以阐明其性能与用途的学科。 固体按结构分为：晶体和非晶体 固体物理研究首先选择晶体作为研究对象来研究固体电子和原子的运动规律，在此基础上才开始研究非晶体。,何为晶体，非晶体？,理想晶体中原子排列是十分规 则的，主要体现是原子排列具有周 期性，或者称为是长程有序的。,非晶体则不具有长程有序的性质， 但是在非晶体中原子排列也不是杂乱 无章、完全无序的，仍然保留有原子 排列的短程序。,晶体-单晶体：水晶、岩盐、金刚石 -多晶体：金属、陶瓷 非晶体：高分子材料，橡胶，塑料， 松香，石蜡,概念了解： 理想晶体内在结构完全规则的固体,又叫做完整晶体。 近乎完整的晶体固体中或多或少地存在有不规则性（缺陷），在规则排列的背景中尚存在微量不规则性的晶体,固体物理是在研究了理想晶体的基础上主要研究近乎完整的晶体中微量缺陷的作用展开的。,参考书目,1固体物理学，方俊鑫、 陆栋著，上海科学 技术出版社，1980； 2固体物理学，黄昆、韩汝琦著，高等教育出 版社，2000； 3. 固体物理，韦丹著，清华大学出版社， 2003； 4.固体物理简明教程，蒋平、徐至中著，复旦 大学出版社，2007； 5. 固体物理习题指导书，刘友之等编,第一章 晶体结构,1.1原子的周期性阵列,(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同?,所有晶体的结构可以用晶格来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。,一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重复排列而成的。,1.基元、格点和晶格,在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。,(1)基元,任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。,(2)晶格,晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分布，通过这些点做三组不共面的平行直线族，形成一些网格，称为晶格(或者说这些点在空间周期性排列形成的骨架称为晶格)。,晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。,用矢量 表示 格点的排列。,(3)格点,晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点。,一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。,基元+晶格=晶体结构,第一章 晶体结构,2.晶格平移矢量 若有一个二维晶体如下图：,第一章 晶体结构,为了描写一个晶格，在二维情况下可以选取 任意两个不共线的基本矢量，由这两个基本矢量 的整数倍的和可以确定晶格中任意一个格点的坐 标（或晶格矢量）： R = ua + vb (u、v 为整数） 这两个基本矢量a、b就叫作这个晶格的初基 平移矢量，简称基矢。,b3,a6,b5,b2,b1,a3,a4,b4,b6,a5,a2,a1,第一章 晶体结构,对于一个三维晶格，我们可以选取不共面的三 个矢量，由这三个矢量整数倍的线性组合来确定点 阵中任一点的位置即： R = ua + vb +wc 其中u、v、w为整数。,第一章 晶体结构,晶体中等同点的排列称之为布拉菲晶格，是 对某种具体晶格类型的通称，是晶体中基元排列 周期性的一种数学抽象。 一个三维的布拉菲晶格可以这样来定义：即 由晶格平移矢量 R = ua +vb +wc 联系起来的诸点的列阵，其中u、v、w为任意整 数，a、b、c为不共面的三条基矢。,第一章 晶体结构,3.结构基元和晶格的初基晶胞 各原子的位置用基元中各原子相对于格点的 相对坐标来表示。基元中第j个原子的坐标为： r = x a + y b + z c 其中 0 x 、y 、z 1,第一章 晶体结构,组成晶体的最小体积单元称为初基晶胞（即 原胞），将初基晶胞平移所有晶格平移矢量，初 基晶胞必然会填满整个空间既不会留下空隙，也 不会自身重叠。,周期性和对称性是晶体结构的两大特点，原 胞能很好的描述晶体结构的周期性，但有时不能 兼顾对称性,第一章 晶体结构,A,第一章 晶体结构,由基矢构成的平行六面体必定是初基晶胞， 每个初基晶胞中必定只包含一个格点。,第一章 晶体结构,对于一个晶格，初基晶胞的选取不是唯一 的，无论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积 是唯一的，体积就等于基矢构成的平行六面体的 体积：,第一章 晶体结构,晶体可以看成是一些相同的积木块堆积起来的 这些积木块往往是一些体积单元，称之为晶胞。组 成晶体的最小的体积单元称之为初基晶胞。将初基 晶胞平移所有的晶格平移矢量，初基晶胞必然会填 满整个空间，既不会留下缝隙、也不会自身重叠。,晶胞可以包含一个以上的格点,原胞与晶胞的区别： 原胞是只考虑晶格周期性的最小重复单元，而 晶胞是同时计及周期性和对称性的最小重复单元。,第一章 晶体结构,根据不同的对称性， 有的布拉菲晶格的原胞与晶胞相同； 有的形状有明显的差别， 但后者的体积为前者的整数倍,这一整数正是晶胞中所包含的格点数,第一章 晶体结构,根据初基晶胞的定义，由基矢组成的平行六 面体必定是初基晶胞（在二维情况下是一个平行 四边形），初基晶胞必定只包含一个格点。,第一章 晶体结构,初基晶胞和基元是两个完全不同的概念，初 基晶胞是一个体积单元，而基元是具体的原子或 原子团，是一个结构单元。一个初基晶胞只包含 一个格点，也就是说一个初基晶胞中只有一个基 元。,第一章 晶体结构,我们今后还有一种常见的晶胞叫做维格纳 赛茨原胞，它是这样来构成的： （1）把某个格点同所有与它相邻的格点用直 线连接起来。 （2）在这些连线的中点处做垂直面（二维情 况下做垂直线），这些垂直面（或垂直线）所围 成的最小体积（或最小面积）就称作维格纳赛 茨原胞（简称为原胞）。,第一章 晶体结构,W-S原胞是一个初基晶胞，也就是说，把这 个晶胞平移所有晶格平移矢量，它会填满整个空 间，既不会留下缝隙，也不会自身重叠。,特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。,第一章 晶体结构,W-S原胞是一个初基晶胞，它的对称性可以反映 出整个晶体的对称性，是一种非常重要的晶胞。(如 下图),w-s 晶胞,第一章 晶体结构,1.2. 晶格的基本类型 1. 对称操作 布拉菲晶格有一些基本性质，对称性是其基本性质之一。晶格的类型是由晶格的对称性来区分的。,第一章 晶体结构,所谓晶格的对称操作是这样一种运动或动 作，将晶格经过这样一种操作后，晶格中的所有 格点都会落到操作前的等价点上，这种操作的结 果是把晶格引入到与原始状态完全等价的构型上。 对称操作通常包括两大类： 平移对称操作 点对称操作,第一章 晶体结构,平移对称操作： 把晶格或晶体平移晶格矢量群中的任一矢量 的操作称之为平移对称操作。经过这种操作晶格 （或晶体）自身是还原的，这种性质称为平移对 称性。,第一章 晶体结构,点对称操作： 在操作的过程中晶格或晶体中至少有一个点 是保持不动的，这种操作称为点对称操作。同 样，经过点对称操作，晶格或晶体也观察不到任 何变化。,第一章 晶体结构,点对称操作主要分以下几类： （1）转动 将晶格（或晶体）绕通过某一定点的轴进行 旋转，如果每转动2/晶格都是自身还原的， 则相应的转动轴，我们称之为重转动轴。 转动轴的符号用1、2、3、4、6表示。,第一章 晶体结构,（2）镜面反映 若一个晶格以通过某一定点的平面为镜面， 将晶格反映为它的镜象，晶格是自身还原的，这 种对称性称为镜面对称性，这种操作称为镜面对 称操作。通常用符号或表示。,第一章 晶体结构,第一章 晶体结构,（3）中心反演 通过某一定点的直线为轴，将晶格或晶体先 转动1800 ，然后通过过这一定点而垂直于旋转轴 的平面再作镜面反映的操作称为中心反演。这样 的操作效果相当于把（，）变成为（ ，z）。原点O称为对称心，中心反演 一般用表示。,第一章 晶体结构,（）转动反演 通过过某定点的轴把晶格先转动2/，再 进行中心反演，相应的转动轴称为重转动反演 轴，用符号表示，只可能取1、2、3、4、6 （）转动反映 绕通过某一定点的转轴将晶格先转动2/， 接着对垂直于转轴的平面作镜面反映。,第一章 晶体结构,转动轴、对称心、镜面等这些几何元素，即 进行对称操作所依靠的几何元素称为对称元素。,对称操作是一种运动、是一种动作，只有当 晶体存在对称元素时才能进行对称操作，对称操 作只有与对称元素相联系才可能进行，它们是相 互关联的，对称元素的存在只有依靠对称操作才 能证实。,第一章 晶体结构,2.惯用晶胞： 为了能反映出晶格的对称性，选取的晶胞称 为惯用晶胞。惯用晶胞选取的原则是在反映点对 称性的前提下，体积最小的晶胞。,第一章 晶体结构,惯用晶胞可以是初基的，也可以是非初基 的，若一个初基晶胞能反映出晶格的对称性，那 么它也就是惯用晶胞。比如立方晶格，初基晶胞 也就是惯用晶胞。惯用晶胞的体积总是等于初基 晶胞体积的整数倍： VV 为惯用晶胞中的格点数。,第一章 晶体结构,第一章 晶体结构,为了反映晶格的对称性就要考虑晶格所选取的 惯用晶胞的晶胞参量。二维空间中是晶胞的棱长和 夹角，三维情况下，是三棱的长，及三棱 之间的夹角。,第一章 晶体结构,第一章 晶体结构,经常用到的一个物理量是晶格常数。 所谓晶格常数是描写惯用晶胞几何尺寸的数 字。如立方晶格的晶格常数只要知道棱长即 可，长方体为三棱长，。,第一章 晶体结构,3二维晶格类型 （1）斜方晶格 当围绕任何一个格点转 动时，只有在转动1800和 3600时才能保持不变。 ab,是任意的,是二维 晶格中对称性最低的一 种。,第一章 晶体结构,（2）六角晶格 a=b，=1200,第一章 晶体结构,（3）正方晶格 a=b，=900,第一章 晶体结构,（4）矩形晶格 由镜面对称性所要求。 （5）有心矩形晶格 由镜面对称性所要求。 二维矩形 ab, = 90 0 二维有心矩形ab, 90 0,第一章 晶体结构,第一章 晶体结构,4.三维晶格类型 在三维空间点对称操作与平移对称操作的组 合共有14种，因此三维空间只有14种布拉菲晶 格，分属7个晶系。,第一章 晶体结构,(1）立方晶格 有三种不同的类型，这三种晶格的惯用晶胞 都是立方体，惯用晶胞的几何特征是a=b=c， =90 0 。 立方晶系有三种布拉菲晶格，即简单立方 （sc），体心立方（bcc）和面心立方（fcc）。 这三个晶格的点对称性相同，惯用晶胞相 同，但平移对称性不同。,第一章 晶体结构,第一章 晶体结构,a.简单立方晶格（sc）,惯用晶胞也是它的初级晶胞，初级晶胞与惯用晶胞的体积相等，都等于a3，a是立方晶格的晶格常数，v=vc=a3。简单立方晶格的基矢的选取通常取它的三个立方轴作晶轴，每一个格点有六个最近邻的格点，最近邻距离就是晶格常数a。,第一章 晶体结构,b.体心立方（bcc）,在sc晶格的体对角线中点上放一个格点，这个格点与角隅上的格点是等价的。 体心立方晶格与sc晶格一样，都具有立方体的点对称性，但平移对称性不同，故属于不同的晶格类型，,第一章 晶体结构,体心立方晶格的基矢的选取通常用一种比较对称的取法，取一个顶点到相邻的三个体心点，这组基矢用笛卡尔坐标表示为：,第一章 晶体结构,体心立方晶格的每一个格点的最近邻格点 有8个，a是惯用晶胞的边长。惯用晶胞中有两个 格点，相对于立方轴，这两个格点的坐标为: （000）（1/2, 1/2,1/2）。,第一章 晶体结构,C.面心立方（fcc）,在sc晶格的每一个面的中心附加一个格点，惯用晶胞也是一个立方体，点对称操作与sc晶格 一样，平移对称操作与sc晶格不同，惯用晶胞也不是初级晶胞，因为惯用晶胞中含有4个格点（八个顶点算一个，每个面心算1/2个，共有6个面），惯用晶胞的体积是初级晶胞体积的4倍。,第一章 晶体结构,面心立方晶格基矢的选取通常取一个顶角点 到最近面心的矢量为基矢，用笛卡儿坐标写出来 就是：,第一章 晶体结构,(2）四角晶系 将立方体沿某一晶轴拉长，立方体就变成了四 角体，惯用晶胞的晶胞参量a=bc， =900 ，四角体的对称性比立方体要低，若 将立方晶系的三种布拉菲晶格的c轴都拉长，就过渡 到两种四角晶系的布拉菲晶格，即简单四角和体心 四角，体心四角是由bcc，fcc晶格沿c轴拉长得到的。,第一章 晶体结构,(3）正交晶系 将四角晶系的另外一个晶轴再拉长，就得到 正交晶系，惯用晶胞的晶胞参量abc， =90 0 ，正交晶系有四种布拉菲晶格。 分别为简单正交、底心正交、体心正交、面心正 交，惯用晶胞都一样，正交晶系的点对称性低于 四角晶系。,第一章 晶体结构,(4）单斜晶系 进一步将正交晶系体变形，即将其一晶轴倾 斜，就过渡到单斜晶系，对于单斜晶系abc， =90 0 ，90 0，单斜晶系有两种布拉菲 晶格：简单单斜和有心单斜（上下底面各有一个 格点），它比正交晶系的点对称性还低）。,第一章 晶体结构,(5）三斜晶系 将单斜晶系的另一个晶轴再倾斜就得到三斜晶 系， 对于三斜晶系，惯用晶胞的晶胞参量 abc，它只有一种布拉菲晶格， 即简单三斜，这是对称性最低的布拉菲晶格。,第一章 晶体结构,(6）三角晶系 将一个完整的正方体沿体对角线方向拉长， 三个晶轴不正交，但夹角相等，边等长，惯用晶 胞的特征是a=b=c，=90 0 1200， 对 称性低于立方体，只有一种布拉菲晶格。,第一章 晶体结构,(7）六角晶系 前面六种晶系均可由立方体变形得到，但六 角晶系不能由立方体变形得到，惯用晶胞的特征 是：a=bc，=90 0，=1200，惯用晶胞是 菱形正棱柱，如选用如图的直角坐标系，基矢用 笛卡儿坐标表示为：,第一章 晶体结构,第一章 晶体结构,1.3、晶面指数系统 1. 晶列和晶向 由于晶格和晶体有平移对称性，晶格中的格点 可以看作分布在一系列相互平行的直线上，一组相 互平行的直线成为晶列，晶列的方向就是格点分布 的方向，晶列的方向称为晶向，它代表格点排列的 方向，一个晶格可以有不止一种晶列，通常晶体暴 露在外观的都是晶向，为了描写晶向，通常要给出 晶向指数。,第一章 晶体结构,所有的格点都在一族彼此平行的直线上晶列晶体外观上的晶棱就是某一晶列 晶列：布拉菲格子中的两个格点的连线,任一晶列上周期性地排列着无穷多个格点 同族晶列上的格点具有相同的周期性 所有的格点都在一族晶列上 在一平面中，相邻晶列间距相等 晶向：晶列的方向。怎么表示？,过原点的晶列上的任一格矢Rl可表示晶向,使l1l2l3互质最短的格矢可表示晶向,与基矢的选取有关！,01,第一章 晶体结构,首先选定晶轴，然后取晶列方向最短的平移矢 量，把它的三个指数放在方括号中表示晶向，则此晶 向为：uvw。 也可以取晶列方向上的任一矢量，用基矢表示， 然后把R1R2R3化成三个互质的最小整数，放在方括号 中，