医学常见数学模型

医学常见数学模型 （1.郑州华信学院 河南省新郑市 451100 ）（2. 郑州大学西亚斯国际学院 河南省新郑市 451100 ）摘要：本文讨论了医学中的导数、定积分、微分方程模型，这些模型广泛的应用于医学中。关键词：模型 医学 导数 积分中图分类号：O129 文献表示码：A Medical common mathematical model (1. Zhengzhou Huaxin College Xinzheng City, Henan Province 451100)(2. Sias International College of Zhengzhou University Xinzheng City, Henan Province 451100)Abstract: This paper discusses the derivative, medicine in the definite integral, differential equation models, these models are widely used in medicine.Keywords: Medical derivative integral modelCLC：O129 Document representation codes：A 随着生物技术和医学科学的发展，数学在医学研究中的应用日益广泛，如生物信息学、基因表达与调控、流行病学、药物动力学以及许多临床学科等都有了比较深入的应用。医学研究的很多课题也已经实现了从定性描述到定量研究的转变，即使是比较复杂的生命系统和现象，研究者通过建立适当的数学模型，也可以对其内在关系和变化规律进行深入的探讨。一、导数模型 我们可以利用导数解决医药学中的最大值与最小值问题。 1.利用导数求血液浓度问题。 例如，肌肉注射或皮卞注射后血液中药物浓度与时间的关系为其中都是正数，且。问何时血液中药物浓度最大?由题意知，的变化范围是， 令即，得，从而在内只有一个驻点，且药物浓度的最大值一定存在，所以当时，血液中的药物浓度的最大。 2.药物生产问题。 例如，某药厂生产某种药品，年产量为个单位，分若干批进行生产，每批生产准备费为元。设该药品均匀投入市场(即平均库存量为批量的一半)，并设每年每单位的药品库存费为元。显然，生产批量大则库存费高，生产批量小则生产准备费多。问如何选择批量，才能使生产准备费与库存费之和为最小(不考虑生产能力)？先求批量与库存费及生产准备费之和间的关系。设每批生产个单位，库存费与生产准备费之和为，则是的函数。因年产量为，所以每年生产的批数为 (为整数)，则生产准备费为；因为库存量为，所以库存费为。因此，可得，其中。现在，问题已经归结为取内的何值时取最小值。求得。令，得因为函数的最小值一定存在，且其在内仅有一个驻点，故时取最小值，即每批生产个单位时，可使生产准备费与库存费之和为最小。二、定积分模型1.血液中胰岛素浓度的平均值。 血液中胰岛素浓度的平均值，在正常人血液中胰岛素的含量是受当前血糖含量影响的。当血糖浓度增加时，由胰脏分泌的胰岛素就进入血液，进入血液以后，胰岛素的生化特性变得不活泼并呈现指数衰减。在一项实验中，某病人节制饮食以降低血糖浓度，同时注入大量葡萄糖，实验中所测到的血液中胰岛素浓度（单位/毫升）符合如下函数：，其中，求在区间（即一小时）内胰岛素的平均浓度。由函数平均值公式，有 （单位/毫升）2. 脉管稳定流动的血流量设有半径为，长度为的一段血管，左端为相对动脉端，血压为。右端为相对静脉端，血压为。取血管的一个横截面。现在我们来计算单位时间内通过血管横截面的血流量。为此，在该截面任取一个内径为，外径为 (圆心在血管中心)的小圆环，它的面积近似等于。假定血管中血液流动是稳定的，此时血管中血液在各点处的流速是各点与血管中心距离的函数，即。因此，在单位时间内，通过该环面的血流量近似地为： 从而，单位时间内通过该横截而的血流量为由实验得知，在通常情况下，有其中为血液粘滞系数，于是 由上式可以看出如下生理意义：血流量与血管两端压力差成正比；血流量与血管半径的4次方成正比；血流量与血液粘滞系数成正比。三、微分方程模型1. 简单的流行病模型建立流行病的数学模型的目的主要是研究疾病在人群中分布和流行的数量规律。现在假定感染通过一个团体内成员之间的接触而传播，感染者不因死亡、痊愈医药高等数学或隔离而被移除，易感染者最终却将成为感染者，这种假定称为无移除的简单模型。某种上呼吸道感染可近似地表示这样一种疾病的流行。现在我们把时刻的易感人数和感染人数分别记为和，并假设一个团体是封闭性的，总人数为。开始时不妨假定只有一个感染者，且团体中各成员之间接触均匀，因而易感者转为感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比。根据以上假定，可建立以下数学模型： 初始条件称为感染率(常数)。解这个方程 分离变量后两边积分则得根据初始条件可得从而得整理后得这个结果描述了易感人数随时间变化的动态关系。2.肿瘤生长的数学模型恶性肿瘤(癌)是人类的大敌，科学家们正从医学、生物学、生物化学等各个方面研究它的发生、成长规律及治疗方法。这儿用数学工具描述肿瘤的生长规律，建立数学模型。通过大量的医疗实践，发现肿瘤细胞生长有以下现象：(1)按现有手段，当肿瘤细胞数目超过时，才是临床可观察的。(2)在肿瘤生长初期，几乎每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍。(3)在肿瘤生长后期，由于各种生理条件的限制，肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。根据这些可以提出肿瘤生长的数学模型。第一种模型：记为时刻的肿瘤细胞数目，设肿瘤细胞的相对增长率为常数，可得到一般细胞增长的模型(一级速率过程) 其解为，因为初始条件，从而得方程的特解为。第二种模型：由于肿瘤生长的第(3)种现象，记由于生理限制肿瘤细胞数目的极限值为，可得出另个生长模型：解这个微分方程得当时，代入上式得则，于是通过这个数学模型，可看出肿瘤细胞数的生长规律。参考文献：【1】 周永治，周哲著，医药高等数学，北京市：科学出版社 , 2001【2】张德舜著，高等数学，北京市：中国医药科技出版社 , 1996作