（浙江专用）高考数学第四章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质教案（含解析）.docx

第三节 三角函数的图象与性质1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ).函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性为增；为减2k，2k为增；2k，2k为减为增对称中心(k，0)对称轴xkxk小题体验1ycos2x; ysin 2x; ytan 2x; y|sin x| 四个函数中，最小正周期为的奇函数是_答案：2(教材习题改编)函数ytan2的定义域为_答案：1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，尽量化成0时的情况3三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结小题纠偏1函数y4sin(x)，x，的单调性是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上是增函数，在和上是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在和上是增函数，在上是减函数答案：D2函数f(x)sin在区间上的最小值为_解析：由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.答案：题组练透1函数y 的定义域为_解析：由题可得所以有0sin x，解得2kx2k或2kx2k，kZ，所以所求函数的定义域为.答案：2函数ylg(sin 2x)的定义域为_解析：由得3x或0x.函数ylg(sin 2x)的定义域为.答案：谨记通法三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解典例引领1函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2B0C1 D1解析：选A0x9，x，sin.y，2，ymaxymin2.2(2018浙北联考)函数f(x)2cos2x5sin x4的最小值为_，最大值为_解析：f(x)2cos2x5sin x42sin2x5sin x222.因为1sin x1，所以当sin x1时，f(x)有最小值9；当sin x1时，f(x)有最大值1.答案：913函数ysin xcos xsin x cos x，x0，的值域为_解析：设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，即sin xcos x，且1t.yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t1时，ymin1.函数的值域为1,1答案：1,14(2019平阳模拟)已知函数f(x)2asinab(a0)的定义域为，值域为5,1，则ab_.解析：因为x，所以2x，所以sin.因为a0，所以f(x)3ab，b因为函数的值域为5,1，所以3ab5，b1，所以a2，所以ab1.答案：1由题悟法三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解(2)化一法：把所给三角函数化为yAsin(x)k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域(3)换元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin xcos x换成t，转化为二次函数即时应用求函数ycos2xsin x的最大值与最小值解：令tsin x，|x|，t.yt2t12，当t时，ymax，当t时，ymin.函数ycos2xsin x的最大值为，最小值为.锁定考向三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性 题点全练角度一：三角函数的周期性1(2019湖州期末)函数y5sin的最小正周期为()A6B6C D解析：选A函数的最小正周期为T6.2(2017天津高考)设函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，|.若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，则()A， B，C， D，解析：选Af2，f0，(2m1)，mN，T，mN，f(x)的最小正周期大于2，T3，f(x)2sin.由2sin2，得2k，kZ.又|，取k0，得.角度二：三角函数的对称性3(2018嘉兴期末)函数f(x)sin的图象的对称轴方程可以是()Ax BxCx Dx解析：选A由题可得，令2xk，kZ，得x，kZ.所以当k0时，函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x.4函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形，则_.解析：由题意，得ycos(3x)是奇函数，故k(kZ)答案：k(kZ)角度三：三角函数的单调性5(2019浦江模拟)已知函数f(x)sin的最小正周期为，且是偶函数，则()Af(x)在内单调递减Bf(x)在内单调递减Cf(x)在内单调递增Df(x)在内单调递增解析：选A因为函数f(x)的最小正周期为，所以2.因为函数f(x)是偶函数，且|，所以.所以f(x)sincos 2x，所以函数f(x)在内单调递减通法在握1函数f(x)Asin(x)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断2求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间演练冲关1(2019舟山模拟)若函数f(x)sin(x)是奇函数，则的值可能是()A BCD解析：选D因为函数f(x)是奇函数，所以k(kZ)对比选项可知，的值可能是.故选D.2若函数f(x)sinsin x(0)相邻两对称轴之间的距离为2，则_.解析：f(x)sinsin xsin xcos xsin xsin xcos xsin，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T4，所以4，即.答案：3函数y|tan x|在上的单调减区间为_解析：如图，观察图象可知，y|tan x|在上的单调减区间为和.答案：和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1下列函数中，周期为的奇函数为()Aysin xcos xBysin2xCytan 2x Dysin 2xcos 2x解析：选Aysin2x为偶函数；ytan 2x的周期为；ysin 2xcos 2x为非奇非偶函数，B、C、D都不正确，选A.2函数ysin在x2处取得最大值，则正数的最小值为()A. B.C. D.解析：选D由题意得，22k(kZ)，解得k(kZ)，0，当k0时，min，故选D.3函数y 的定义域为()A.B.(kZ)C.(kZ)DR解析：选Ccos x0，得cos x，2kx2k，kZ.4(2018浙江六校联考)函数y3sin xcos x的单调递增区间是_解析：化简可得y2sin，由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，又x，函数的单调递增区间是.答案：5函数f(x)sin在上的值域是_解析：x，2x，当2x，即x时，f(x)max1.当2x，即x时，f(x)min，f(x).答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2019诸暨模拟)若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则()A3B2C D解析：选C因为函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以f(x)maxfsin1.又因为2，所以02，所以，解得.2关于函数ytan，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间上单调递减C.为其图象的一个对称中心D最小正周期为解析：选C函数ytan是非奇非偶函数，A错；函数ytan在区间上单调递增，B错；最小正周期为，D错；由2x，kZ，得x，kZ.当k0时，x，所以它的图象关于对称3函数f(x)2sin(x)(0)对任意x都有ff，则f的值为()A2或0 B2或2C0 D2或0解析：选B因为函数f(x)2sin(x)对任意x都有ff，所以该函数图象关于直线x对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4已知函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，.若f(x)的最小正周期为6，且当x时，f(x)取得最大值，则( )Af(x)在区间2，0上是增函数Bf(x)在区间3，上是增函数Cf(x)在区间3，5上是减函数Df(x)在区间4，6上是减函数解析：选Af(x)的最小正周期为6，.当x时，f(x)有最大值，2k(kZ)，2k(kZ)，.f(x)2sin，令2k2k，kZ，得6kx6k，kZ，故f(x)的单调增区间为，kZ，令k0，得x，2，0，故A正确5已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A BCD(0,2解析：选A由x得x，由题意知，故选A.6若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为_解析：由题意知，12，即k2k.又kN，所以k2或k3.答案：2或37已知函数f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是_解析：x，x，当x时，f(x)的值域为，结合函数的图象知a，a.答案：8若函数f(x)sin(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0，则x0_.解析：由题意得，T，2.又2x0k(kZ)，x0(kZ)，而x0，所以x0.答案：9已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为.(1)求当f(x)为偶函数时的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间解：f(x)的最小正周期为，则T，2.f(x)sin(2x)(1)当f(x)为偶函数时，k，kZ，cos 0，0，.(2)f(x)的图象过点时，sin，即sin.又0，.，.f(x)sin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.f(x)的单调递增区间为，kZ.10已知函数f(x)sin.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)当x时，求函数f(x)的最大值和最小值解：(1)令2xk，kZ，得x，kZ.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x，kZ.(2)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(3)当x时，2x，所以1sin，所以f(x)1，所以当x时，函数f(x)的最大值为1，最小值为.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若存在实数a，使函数ysin2xacos xa在闭区间上取到最大值1，则实数a等于()A1 BCD2解析：选Cy2a.当0x时，0cos x1，令tcos x，则0t1，所以y2a，0t1.当01，即0a2时，则当t，即cos x时，ymaxa1，解得a或a4(舍去)，故a；当0，即a0时，则当t0，即cos x0时，ymaxa1，解得a，由于a0，故这种情况不存在满足条件的a值；当1，即a2时，则当t1，即cos x1时，ymaxaa1，解得a.由于2，故这种情况下不存在满足条件的a值综上知，存在a符合题意故选C.2设函数f(x)sin(x)，给出以下四个论断：它的最小正周期为；它的图象关于直线x成轴对称图形；它的图象关于点成中心对称图形；在区间上是增函数以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_(用序号表示即可)解析：若成立，则2.令2k，kZ，且|，故k0，则.此时f(x)sin.当x时，sinsin 0，所以f(x)的图象关于成中心对称；又f(x)在上是增函数，则