（浙江专用）高考数学第八章平面解析几何第二节两条直线的位置关系教案（含解析）.docx

第二节 两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间距离d小题体验1(2018金华四校联考)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m()A2B3C2或3 D2或3解析：选C直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，解得m2或3.2“a”是“直线(a1)x3ay10与直线(a1)x(a1)y30相互垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由直线(a1)x3ay10与直线(a1)x(a1)y30相互垂直，得(a1)(a1)3a(a1)0，即4a23a10，解得a或1，“a”是“直线(a1)x3ay10与直线(a1)x(a1)y30相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3(2018浙江五校联考)已知动点P的坐标为(x,1x)，xR，则动点P的轨迹方程为_，它到原点距离的最小值为_解析：设点P的坐标为(x，y)，则y1x，即动点P的轨迹方程为xy10.原点到直线xy10的距离为d，即为所求原点到动点P的轨迹的最小值答案：xy101在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑2运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错小题纠偏1已知P：直线l1：xy10与直线l2：xay20平行，Q：a1，则P是Q的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由于直线l1：xy10与直线l2：xay20平行的充要条件是1a(1)10，即a1.所以P是Q的充要条件2(2018安庆模拟)若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2：2x6y30的距离为，则m()A7 B.C14 D17解析：选B直线l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因为它与直线l2：2x6y30的距离为，所以，解得m.(基础送分型考点自主练透)题组练透1已知a0，直线ax(b2)y40与直线ax(b2)y30互相垂直，则ab的最大值为()A0B2C4 D.解析：选B若b2，两直线方程分别为yx1和x，此时两直线相交但不垂直若b2，两直线方程分别为x和yx，此时两直线相交但不垂直若b2，两直线方程分别为yx和yx，此时两直线的斜率分别为，由1，得a2b24.因为a2b242ab，所以ab2，且当ab或ab时取等号，故ab的最大值为2.2(2018诸暨模拟)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50平行，则2a3b的最小值为_解析：由两直线平行可得，a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)13132 25，当且仅当ab5时取等号，故2a3b的最小值为25.答案：253已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试确定m，n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.解：(1)由题意得解得m1，n7.即m1，n7时，l1与l2相交于点P(m，1)(2)l1l2，解得或即m4，n2或m4，n2时，l1l2.(3)当且仅当2m8m0，即m0时，l1l2.又1，n8.即m0，n8时，l1l2，且l1在y轴上的截距为1.谨记通法1已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1.提醒当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况2由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0) l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)提醒在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答典例引领1(2018衢州模拟)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A.B.C. D.解析：选B因为l1l2，所以，解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2之间的距离d.2直线3x4y30上一点P与点Q(2，2)的连线的最小值是_解析：点Q到直线的距离即为P，Q两点连线的最小值，|PQ|min1.答案：13若直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_解析：法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意故所求直线l的方程为x3y50或x1.法二：当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1,4)直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.答案：x3y50或x1由题悟法处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便即时应用1已知P是直线2x3y60上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(1,1)，若|PO|PA|，则P点的坐标为_解析：法一：设P(a，b)，则解得a3，b4.P点的坐标为(3,4)法二：线段OA的中垂线方程为xy10，则由解得则P点的坐标为(3,4)答案：(3,4)2已知直线l：axy10和点A(1,2)，B(3,6)若点A，B到直线l的距离相等，则实数a的值为_解析：法一：要使点A，B到直线l的距离相等，则ABl，或A，B的中点(2,4)在直线l上所以a2或2a410，解得a2或.法二：要使点A，B到直线l的距离相等，则，解得a2或.答案：2或锁定考向对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称题点全练角度一：点关于点对称1过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_解析：设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x4y40.答案：x4y402已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程为_解析：法一：在l：2x3y10上任取两点，如M(1,1)，N(4，3)，则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上易知M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.法二：设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.答案：2x3y90角度二：点关于线对称3已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解：(1)设A(x，y)，则解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.角度三：线关于线对称4直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y30Bx2y30Cx2y10 Dx2y10解析：选A设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.通法在握1中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行演练冲关1已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)解析：选C设A(4,2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则解得BC所在直线的方程为y1(x3)，即3xy100.同理可得点B(3,1)关于直线y2x的对称点为(1,3)，AC所在直线的方程为y2(x4)，即x3y100.联立解得可得C(2,4)2已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析：设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.答案：6xy603已知ABC中，顶点A(4,5)，点B在直线l：2xy20上，点C在x轴上，求ABC周长的最小值解：设点A关于直线l：2xy20的对称点为A1(x1，y1)，点A关于x轴的对称点为A2(x2，y2)，连接A1A2交l于点B，交x轴于点C，则此时ABC的周长取最小值，且最小值为.A1与A关于直线l：2xy20对称，解得A1(0,7)易求得A2(4，5)，ABC周长的最小值为4.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018浙江名校协作体联考)“a1”是“直线ax3y30和直线x(a2)y10平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C因为直线ax3y30和直线x(a2)y10平行的充要条件是解得a1，故选C.2(2018丽水调研)已知直线l1过点(2,0)且倾斜角为30，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为()A(3，) B(2，)C(1，) D.解析：选C直线l1的斜率为k1tan 30，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2，所以直线l1的方程为y(x2)，直线l2的方程为y(x2)两式联立，解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)3(2018诸暨期初)已知点A(7，4)关于直线l的对称点为B(5,6)，则该对称直线l的方程为()A6x5y10 B5x6y10 C5x6y10 D6x5y10 解析：选D由题可得，直线l是线段AB的垂直平分线因为A(7，4)，B(5,6)，所以kAB，所以kl.又因为A(7，4)，B(5,6)的中点坐标为(1,1)所以直线l的方程为y1(x1)，即6x5y10.4已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_解析：由题意得，点P到直线的距离为.因为3，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范围是0,10答案：0,105若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则c的值是_解析：依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行直线之间的距离为，所以，解得c2或6.答案：2或6二保高考，全练题型做到高考达标1(2018舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay30相交于点M，则|MP|2|MQ|2的值为()A. B.C5 D10解析：选D由题意知P(0,1)，Q(3,0)，过定点P的直线axy10与过定点Q的直线xay30垂直，M位于以PQ为直径的圆上，|PQ|，|MP|2|MQ|2|PQ|210.2(2018慈溪模拟)曲线y2xx3在x1处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为()A. B.C. D.解析：选A由题可得，切点坐标为(1，1)y23x2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k231，所以切线的方程为xy20.所以点P(3,2)到直线l的距离为d.3(2018绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B.C. D.解析：选C因为，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.4(2018厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn等于()A. B.C. D.解析：选A由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，则解得故mn.5(2018钦州期中)已知直线l的方程为f(x，y)0，P1(x1，y1)和P2(x2，y2)分别为直线l上和l外的点，则方程f(x，y)f(x1，y1)f(x2，y2)0表示()A过点P1且与l垂直的直线B与l重合的直线C过点P2且与l平行的直线D不过点P2，但与l平行的直线解析：选C由直线l的方程为f(x，y)0，知方程f(x，y)f(x1，y1)f(x2，y2)0表示与l平行的直线，P1(x1，y1)为直线l上的点，则f(x1，y1)0，f(x，y)f(x1，y1)f(x2，y2)0化为f(x，y)f(x2，y2)0，显然P2(x2，y2)满足方程f(x，y)f(x1，y1)f(x2，y2)0，所以f(x，y)f(x1，y1)f(x2，y2)0表示过点P2且与l平行的直线故选C.6已知三角形的一个顶点A(4，1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：xy10和l2：x10，则BC边所在直线的方程为_解析：A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上设A1(x1，y1)，则有解得所以A1(0,3)同理设A2(x2，y2)，易求得A2(2，1)所以BC边所在直线方程为2xy30.答案：2xy307(2018余姚检测)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_解析：显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.答案：2xy20或2x3y1808.如图所示，已知两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程为_解析：易得AB所在的直线方程为xy4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2)，点P关于y轴对称的点为A2(2,0)，则光线所