全国高考数学二轮复习专题四立体几何第2讲空间中的平行与垂直学案文.doc

第2讲空间中的平行与垂直考情考向分析1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断例1(1)若m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，则mn答案A解析对于选项A，由n，可得n或n，又m，所以可得mn，故A正确；对于选项B，由条件可得mn或mn，故B不正确；对于选项C，由条件可得mn或m，n相交或m，n异面，故C不正确；对于选项D，由题意得mn，故D不正确(2)如图，平面平面，l，A，C是内不同的两点，B，D是内不同的两点，且A，B，C，D直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点下列判断正确的是()A当CD2AB时，M，N两点不可能重合BM，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行答案B解析由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此ACBD，而BD，ACB，所以由线面平行的判定定理可得AC，又因为AC，l，所以由线面平行的性质定理可得ACl，故选B.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中跟踪演练1(1)(2018揭阳模拟)已知直线a，b，平面，下列命题正确的是()A若，a，则aB若a，b，c，则abcC若a，ba，则bD若，a，b，则ba答案A解析A中，若，a，则a，该说法正确；B中，若a，b，c，在三棱锥PABC中，令平面，分别为平面PAB，PAC，PBC，交线a，b，c为PA，PB，PC，不满足abc，该说法错误；C中，若a，ba，有可能b，不满足b，该说法错误；D中，若，a，b，正方体ABCDA1B1C1D1中，取平面，为平面ABCD，ADD1A1，直线b为A1C1，满足b，不满足ba，该说法错误(2)(2018资阳模拟)如图，平面与平面相交于BC，AB，CD，点ABC，点DBC，则下列叙述错误的是()A直线AD与BC是异面直线B过AD只能作一个平面与BC平行C过AD只能作一个平面与BC垂直D过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行答案C解析由异面直线的判定定理得直线AD与BC是异面直线；在平面内仅有一条直线过点D且与BC平行，这条直线与AD确定一个平面与BC平行，即过AD只能作一个平面与BC平行；若AD垂直于平面，则过AD的平面都与BC垂直，因此C错；过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化例2(1)(2018衡水调研)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB平面ABCD，点E是PD的中点，棱PA与平面BCE交于点F.求证：ADEF；若PAB是正三角形，求三棱锥PBEF的体积证明因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以BCAD.又因为BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因为B，C，E，F四点共面，且平面BCEF平面PADEF，所以BCEF.又因为BCAD，所以ADEF.解由知，ADEF，点E是PD的中点，所以点F为PA的中点，EFAD1.又因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，ADAB，所以AD平面PAB，所以EF平面PAB.又因为PAB是正三角形，所以PAPBAB2，所以SPBFSPBA.又EF1，所以VPBEFVEPBF1.故三棱锥PBEF的体积为.(2)(2018北京)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点求证：PEBC；求证：平面PAB平面PCD；求证：EF平面PCD.证明因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD，所以PEBC.因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，PAABA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC，因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l，ala.跟踪演练2(2018全国)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由(1)证明由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)解当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点连接OP，因为P为AM的中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.热点三平面图形的翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法例3(2018北京海淀区期末)如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点将ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示(1)求证：DE平面PCF；(2)求证：平面PBC平面PCF；(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由(1)证明折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以ACDE，所以折叠后，DEPF，DECF，又PFCFF，PF，CF平面PCF，所以DE平面PCF.(2)证明因为四边形AECD为菱形，所以DCAE，DCAE.又点E为AB的中点，所以DCEB，DCEB，所以四边形DEBC为平行四边形，所以CBDE.又由(1)得，DE平面PCF，所以CB平面PCF.因为CB平面PBC，所以平面PBC平面PCF.(3)解存在满足条件的点M，N，且M，N分别是PD和BC的中点如图，分别取PD和BC的中点M，N.连接EN，PN，MF，CM.因为四边形DEBC为平行四边形，所以EFCN，EFBCCN，所以四边形ENCF为平行四边形，所以FCEN.在PDE中，M，F分别为PD，DE的中点，所以MFPE.又EN，PE平面PEN，PEENE，MF，CF平面CFM，MFCFF，所以平面CFM平面PEN.思维升华(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论跟踪演练3如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图所示的空间几何体(1)求证：AB平面ADC；(2)若AD1，AB，求点B到平面ADE的距离(1)证明因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又BDDC，DC平面BCD，所以DC平面ABD.因为AB平面ABD，所以DCAB.又ADAB，DCADD，AD，DC平面ADC，所以AB平面ADC.(2)解因为AB，AD1，所以BD.依题意ABDDCB，所以，即.所以CD.故BC3.由于AB平面ADC，所以ABAC，又E为BC的中点，所以AE.同理DE.所以SADE1 .因为DC平面ABD，所以VABCDCDSABD.设点B到平面ADE的距离为d，则dSADEVBADEVABDEVABCD，所以d，即点B到平面ADE的距离为.真题体验1(2017全国改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是_(填序号)答案(1)解析对于(1)，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交；对于(2)，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；对于(3)，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；对于(4)，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ，又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.2(2017江苏)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以ABEF.又EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又AC平面ABC，所以ADAC.押题预测1不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面，内，下列为真命题的是()Amnm BmnCm Dmn押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力答案C解析构造长方体，如图所示因为A1C1AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B也不垂直，所以选项A，B都是假命题CC1AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C.2如图(1)，在正ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BEAF2CF.点P为边BC上的点，将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使平面A1EF平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示(1)求证：A1EFP；(2)若BPBE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直线与平面位置关系，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题方向(1)证明在正ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示因为BEAF2CF，所以AFAD，AEDE，而A60，所以ADF为正三角形又AEDE，所以EFAD.所以在题图(2)中，A1EEF，又A1E平面A1EF，平面A1EF平面BEFC，且平面A1EF平面BEFCEF，所以A1E平面BEFC.因为FP平面BEFC，所以A1EFP.(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行理由如下：如题图(1)，在正ABC中，因为BPBE，BEAF，所以BPAF，所以FPAB，所以FPBE.如图所示，取A1P的中点M，连接MK，因为点K为棱A1F的中点，所以MKFP.因为FPBE，所以MKBE.因为MK平面A1BE，BE平面A1BE，所以MK平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行A组专题通关1若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面：mn，mn；，m，nmn；，mn，mn；若m，n，mn，则.则以上说法中正确的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析对于，mn，mn，正确；对于，两平行平面内的两条直线可能是异面直线，故错误；对于，mn，mn，正确；对于，若m，n，mn，则，错误，如三棱柱的两个侧面都与第三个侧面相交，交线平行，但是这两个面相交故选B.2如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为()A B C D答案D解析由题意可得图中GH与MN平行，不合题意；图中GH与MN异面，符合题意；图中GH与MN相交，不合题意；图中GH与MN异面，符合题意则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为.3(2018抚顺模拟)给出下列四个命题：如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行，那么a；过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面其中真命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析对于，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行，那么a，故正确；对于，因为垂直于同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；对于，平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；对于，因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确4(2018全国)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B. C. D.答案C解析如图，因为ABCD，所以AE与CD所成角为EAB.在RtABE中，设AB2，则BE，则tanEAB，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.5(2018全国)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A8 B6 C8 D8答案C解析如图，连接AC1，BC1，AC.AB平面BB1C1C，AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，AC1B30.又ABBC2，在RtABC1中，AC14，在RtACC1中，CC12，V长方体ABBCCC12228.故选C.6已知m，n，l1，l2表示不同的直线，表示不同的平面，若m，n，l1，l2，l1l2M，则的一个充分条件是()Am且l1 Bm且nCm且nl2 Dml1且nl2答案D解析对于选项A，当m且l1时，可能平行也可能相交，故A不是的充分条件；对于选项B，当m且n时，若mn，则，可能平行也可能相交，故B不是的充分条件；对于选项C，当m且nl2时，可能平行也可能相交，故C不是的充分条件；对于选项D，当ml1，nl2时，由线面平行的判定定理可得l1，l2，又l1l2M，由面面平行的判定定理可以得到，但时，ml1且nl2不一定成立，故D是的一个充分条件故选D.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；直线B1E直线BC1.答案解析因为AC平面BDD1B1，BE平面BDD1B1，所以ACBE，故正确；因为B1D1BD，即BDB1E，B1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以B1E平面ABCD，故正确；记正方体的体积为V，则VEABCV为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误8.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D平面ACC1A1，又CF平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，设AFx，则A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.9(2018全国)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离(1)证明因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.如图，连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，所以OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.因为OPOB，OPAC，OBACO，OB，AC平面ABC，所以PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足为H，又由(1)可得OPCH，因为OMOPO，OM，OP平面POM，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离由题意可知OCAC2，CMBC，ACB45，所以在OMC中，由余弦定理可得，OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.10(2018黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)已知ABC中，ABBC，BC2，AB4，分别取边AB，AC的中点D，E，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1DBD.设点M为棱A1D的中点，点P为棱A1B的中点，棱BC上的点N满足BN3NC.(1)求证：MN平面A1EC；(2)求三棱锥NPCE的体积(1)证明取A1E的中点F，连接MF，CF， M为棱A1D的中点，MFDE且MFDE，在ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，DEBC且DEBC，MFBC，即MFNC，且MFBCNC，四边形MFCN为平行四边形，MNFC，MN平面A1EC，FC平面A1EC，MN平面A1EC.(2)解取BD的中点H，连接PH，则PH为A1BD的中位线，PHA1D，在ABC中，ABBC，DEBC，在空间几何体中，DEDA1，A1DBD，DBDED，DB，DE平面BCED，A1D平面BCED，PHA1D，PH平面BCED，PH为三棱锥PNCE的高，PHA1DAB1，SNCENCBD2，VNPCEVPNCEPHSNCE1.B组能力提高11(2018河南省南阳市第一中学月考)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析如图所示，分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接MN，BC1，NE，A1N，A1M，M，N，E，F分别为所在棱的中点，MNBC1，EFBC1，MNEF，又MN平面AEF，EF平面AEF，MN平面AEF.AA1NE，AA1NE，四边形AENA1为平行四边形，A1NAE，又A1N平面AEF，AE平面AEF，A1N平面AEF，又A1NMNN，A1N，MN平面A1MN，平面A1MN平面AEF.P是侧面BCC1B1内一点，且A1P平面AEF，点P必在线段MN上在RtA1B1M中，A1M.同理，在RtA1B1N中，可得A1N，A1MN为等腰三角形当点P为MN中点O时，A1PMN，此时A1P最短；点P位于M，N处时，A1P最长A1O，A1MA1N.线段A1P长度的取值范围是.12(2018泉州质检)已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，M，N分别为B1C1，BB1的中点现有下列四个结论：p1：AC1MN；p2：A1CC1N；p3：B1C平面AMN；p4：异面直线AB与MN所成角的余弦值为.其中正确的结论是()Ap1，p2 Bp2，p3Cp2，p4 Dp3，p4答案C解析正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，M，N分别为B1C1，BB1的中点对于p1：如图所示，MNBC1，BC1AC1C1，AC1与MN不平行，是异面直线，p1错误；对于p2：如图所示，连接AC1，交A1C于点O，连接ON，易知A1CAC1，ON平面ACC1A1，ONA1C，又ONAC1O，ON，AC1平面ONC1，A1C平面ONC1，又C1N平面ONC1，A1CC1N，p2正确；对于p3：如图所示，取BC的中点O，连接AO，BC1，过点O作OPBC1，交CC1于点P，连接AP，则AO平面BCC1B1，又B1C平面BCC1B1，AOB1C，又BC1OP，BC1B1C，B1COP，又AOOPO，AO，OP平面AOP，B1C平面AOP，又平面AMN与平面AOP有公共点A，B1C与平面AMN不垂直，p3错误；对于p4：如图所示，连接BC1，AC1，则MNBC1，ABC1是异面直线AB与MN所成的角，设AB1，则AC1BC1，cosABC1，p4正确综上，其中正确的结论是p2，p4.13.如图，多面体ABCB1C1D是由三棱柱ABCA1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点(1)若F在CC1上，且CC14CF，E为AB的中点，求证：直线EF平面C1DB1；(2)若ADAC1，AD平面ABC，BCAC，求点C到平面B1C1D的距离(1)证明方法一取AC的中点G，CC1的中点H，连接AH，GF，GE，如图所示ADC1H且ADC1H，四边形ADC1H为平行四边形，AHC1D，又F是CH的