全国高考数学二轮复习专题六函数与导数规范答题示例9函数的单调性极值与最值问题学案理.doc

规范答题示例9函数的单调性、极值与最值问题典例9(12分)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围审题路线图.规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(x0)若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值，不合题意；当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.9分令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1).12分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数第二步定符号：通过讨论确定f(x)的符号第三步写区间：利用f(x)的符号确定函数的单调性第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则(1)函数求导正确给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)ln aa1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分跟踪演练9(2018天津)已知函数f(x)ax，g(x)logax，其中a1.(1)求函数h(x)f(x)xln a的单调区间；(2)若曲线yf(x)在点(x1，f(x1)处的切线与曲线yg(x)在点(x2，g(x2)处的切线平行，证明x1g(x2)；(3)证明当a时，存在直线l，使l是曲线yf(x)的切线，也是曲线yg(x)的切线(1)解由已知得h(x)axxln a，则h(x)axln aln a.令h(x)0，解得x0.由a1，可知当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)h(x)0h(x)极小值所以函数h(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)(2)证明由f(x)axln a，可得曲线yf(x)在点(x1，f(x1)处的切线斜率为ln a由g(x)，可得曲线yg(x)在点(x2，g(x2)处的切线斜率为.因为这两条切线平行，所以有ln a，即x2(ln a)21，两边取以a为底的对数，得logax2x12logaln a0，所以x1g(x2).(3)证明曲线yf(x)在点(x1，)处的切线为l1：yln a(xx1)曲线yg(x)在点(x2，logax2)处的切线为l2：ylogax2(xx2)要证明当a时，存在直线l，使l是曲线yf(x)的切线，也是曲线yg(x)的切线，只需证明当a时，存在x1(，)，x2(0，)，使得l1与l2重合即只需证明当a时，下面的方程组有解由得，x2，代入，得x1ln ax10.因此，只需证明当a时，关于x1的方程存在实数解设函数u(x)axxaxln ax，即要证明a时，函数u(x)存在零点u(x)1(ln a)2xax，可知当x(，0)时，u(x)0；当x(0，)时，u(x)单调递减，又u(0)10，u10，使得u(x0)0，即1(ln a)2x00.由此可得u(x)在(，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减u(x)在xx0处取得极大值u(x0)因为a，所以ln ln a1，所以u(x0)x0ln ax0x00.下面证明存在实数t，使得u(t)时，有u(x)(1xln a)(1xln a)x(ln a)2x2x1，所