平面向量的数量积及其应用精品

平面向量的数量积及其应用自主梳理1向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量_ _叫做a和b的数量积(或内积)，记作_，其中向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；注意 在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0q180。C规定：零向量与任一向量的数量积为_. 即（2）平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积.(3) 平面向量数量积的重要性质：如果e是单位向量，则aeea_；非零向量a，b，ab_；当a与b同向时，ab_；（两个非零向量a与b垂直的充要条件是_）当a与b反向时，ab_，aa_ a2_|a|2_，|a|_；（两个非零向量a与b平行的充要条件是_ _）cos _；|ab|_|a|b|.2向量数量积的运算律(1)交换律：ab_；(2)分配律：(ab)c_；(3)数乘向量结合律：(a)b_.3向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab (2) 设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab .(3) 设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos _(4)若a(x，y)，则|a|2 或|a| . (5)若A（x1，y1），B（x2，y2），则 _，所以| _点评：1.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围.2.ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab.3.一般地，(ab)c(bc)a即乘法的结合律不成立.因ab是一个数量，所以(ab)c表示一个与c共线的向量，同理右边(bc)a表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下(ab)c(bc)a.4.abac(a0)不能推出bc，即消去律不成立.5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，应为120，而不是60.自我检测1.已知向量a和向量b的夹角为135，|a|2， |b|3，则向量a和向量b的数量积ab_.2.在RtABC中，C=90,AC=4,则等于 ()A16B8C8D163已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab| ()A0B2C4D84.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则实数的值为_.5.已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为_.6.设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有_(ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ac)b不与c垂直；(3a4b)(3a4b)9|a|216|b|2.7.平面上有三个点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若，则动点C的轨迹方程为_8.若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足，则_题型一平面向量的数量积的运算例1（1）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是_. (2)如图，在ABC中，ADAB， ，|1，则等于()A.2 B. C. D.法1基底法:法2坐标法变式训练1 (1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且|a|b|1，则(3a)(ab)_.(2)如下图，在中，是边上的高，则的值等于 （ ）A0BC4D【思路点拨】充分利用已知条件的，借助数量积的定义求出题型二向量的夹角与向量的模例2已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a与b的夹角； (2)求|ab|； (3)若a，b，求ABC的面积.变式训练2 (1)已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，求|2|的值；(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120，|a|1，|b|2，|c|3，求向量abc与向量a的夹角. (3)已知i，j为互相垂直的单位向量，ai2j，bij，且a与b的夹角为锐角，实数的取值范围为_题型三平面向量的垂直问题例3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(00) 求证：ab与ab垂直；用k表示ab； 求ab的最小值以及此时a与b的夹角.（3）设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin ) 若a与b2c垂直，求tan()的值；求|bc|的最大值； 若tan tan 16，求证：ab.（4）如图441所示，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，CACB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE2EB.求证：ADCE.（5） 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角， 求k值题型四向量的数量积在三角函数中的应用例4已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值变式迁移4 已知ABC的面积S， 3S，且cos B，求cos C.1一些常见的错误结论：(1)若|a|b|，则ab；(2)若a2b2，则ab；(3)若ab，bc，则ac；(4)若ab0，则a0或b0；(5)|ab|a|b|；(6)(ab)ca(bc)；(7)若abac，则bc.以上结论都是错误的，应用时要注意2平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，是向量a与b的夹角.向量表示坐标表示向量a的模|a|a|a与b的数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2a与b共线的充要条件Ab(b0)ababx1y2x2y10非零向量a，b垂直的充要条件abab0abx1x2y1y20向量a与b的夹角cos cos 3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：（1）要证AB=CD，可转化证明22或|.（2）要证两线段ABCD，只要证存在唯一实数0，使等式成立即可（3）要证两线段ABCD，只需证0.平面向量的数量积及其应用练习一一、选择题1若向量a(3，m)，b(2，1)，ab0，则实数m的值为 ()AB. C2D62已知非零向量a，b，若|a|b|1，且ab，又知(2a3b)(ka4b)，则实数k的值为 ()A6 B3C3D63.已知ABC中，a，b，ab1，则实数k的取值范围是 ()A.(，0) B.(2，)C.(，0)(2，) D.(0,2)二、填空题11设a(cos 2，sin )，b(1，2sin 1)，若ab，则sin _.12若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为_13已知向量m(1,1)，向量n与向量m夹角为，且mn1，则向量n_.14.已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.三、解答题15.设两向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值.17.已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在线段OC上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由平面向量的数量积及其应用练习二一、选择题1设R,向量,且,则（）ABCD102、定义：，其中为向量与的夹角，若，则等于（）A B C或 D3若向量a与b不共线，ab0，且cab，则向量a与c的夹角为_4如图，非零向量（ ）ABCD5在中，是边上的高，若，则实数等于（ ）A B C D6已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 A. 0, B. C. D. 7.设非零向量、满足，则( )A150 B.120 C.60 D.308、（2012湖南理）在ABC中,AB=2,AC=3,= 1则.（）ABCD9在平面直角坐标系中,将向量按逆时针旋转后,得向量，则点的坐标是（）ABCD二、填空题10.若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_.11.已知向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_.12.已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式01,01，则z的最大值为_.三、解答题13.设平面上有两个向量a(cos ，sin ) (0360)，b.(1)求证：向量ab与ab垂直；(2)当向量ab与ab的模相等时，求的大小.14已知向量a(cos()，sin()，b(cos，sin)(1)求证：ab；(2)若存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，满足xy，试求此时的最小值15已知a(1,2sin x)，b，函数f(x)ab (xR)(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)，求cos的值平面向量的数量积及其应用练习三1在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）A B C D2平面上O，A，B三点不共线，设a，b，则OAB的面积等于()A. B. C. D. 3已知非零向量和满足，且，则ABC为（ ） A.等边三角形 B. 等腰非直角三角形 C.非等腰三角形 D.等腰直角三角形4.己知向量，与的夹角为60，直线与圆的位置关系是 （ ） A相切 B相交