2018_2019学年高中数学第三章推理与证明1.1.1归纳推理教案（含解析）北师大版.docx

11归纳推理归纳推理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们都能导电吗？提示：都能导电问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电问题3：若数列an的前四项为2,4,6,8，试写出an.提示：an2n(nN)问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？提示：都是由几个特殊事例得出一般结论归纳推理定义特征根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，得到的结论不一定正确，其正确性还有待于严格的证明或举例说明其结论的不正确性数与式的归纳例1(1)已知下列各式：1，11，1，12，请你归纳出一般性结论：_.(2)已知f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN)的表达式为_思路点拨(1)观察左边最后一项分母的特点为2n1，不等式右边为，由此可得一般结论(2)由函数关系列出前几项，归纳出一般性结论精解详析(1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大1，且终止项为2n1，不等式右边依次为，从而归纳得出一般结论：1.(2)f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根据前几项可以猜想fn(x).答案(1)1(2)f3(x)fn(x)一点通1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论2数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式1试探究下列一组数列的基本规律：0,2,6,14,30，根据规律写出第6个符合规律的数，这个数是()A60B62C64 D94解析：选B这个数列从第二项起，每一项与它前一项的差依次等于2,22,23,24，所以第6个符合规律的数应为302562.2观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为()A1B1C1D1解析：选D观察每个不等式的特点，知第五个不等式为14时，f(n)_(用含n的数学表达式表示)解析：如图，画图可知，f(4)5，当n4时，可得递推式f(n)f(n1)n1，由f(n)f(n1)n1，f(n1)f(n2)n2，f(4)f(3)3，叠加可得，f(n)f(3)(n2)(n3)，又f(3)2，所以f(n)(n2)(n3)2，化简整理得f(n)(n2)(n1)答案：5(n2)(n1)1观察和实验是进行归纳推理的最基本的条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据2由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一1观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，则第100项是()A10B13C14 D100解析：选C91，从第92项到第105项都是14，故选C.2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()111121133114a4115101051A2B4C6 D8解析：选C由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和故a336.3观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为()A BC D解析：选A图形涉及三种符号、，其中符号与各有3个，且各自有二黑一白，所以缺一个黑色符号，即应画上才合适4设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)()A. BC. D2解析：选B三角形内角和为，四边形为2，五边形为3，故f(k1)f(k).5已知x(0，)，有下列各式：x2，x3，x4成立，观察上面各式，按此规律若x5，则正数a_.解析：观察给出的各个不等式，不难得到x2，x3，x4，从而第4个不等式为x5，所以当x5时，正数a44.答案：446如图是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，OAn，的长度构成数列an，则此数列an的通项公式为an_.解析：根据OA1A1A2A2A3A7A81和题图中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1OA11，a2OA2，a3OA3，故可归纳推测出an.答案：7观察等式：13422,135932,13571642，你能得出怎样的结论？解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方因此可推测得出：13579(2n1)n2(n2，nN)8已知a，b为正整数，设两直线l1：ybx与l2：yx的交点为P1(x1，y1)，且对于n2的自然数，两点(0，b)，(xn1,0)的连线与直线yx交于点Pn(xn，yn)(1)求P1，P2的坐标；(2)猜想Pn的坐标(nN)解：(1)解方程组得P1.过(0，b)，两点的直线方程为1，与yx联立解得P2.(2)由(1)可猜想Pn.9一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图分别是制作该作品前四步所对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f(n)(1)求出f(2)，f(3)，f(4)，f(5)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f(n1)与f(n)的关系式；(3)猜想f(n)的表达式，并写出推导过程解：(1)图中只有一个小正方形，得f(1)1；图中有3层，以第2层为对称轴，有1315(个)小正方形，得f(2)5；图中有5层，以第3层为对称轴，有1353113(个)小正方形，得f(3)13；图中有7层，以第4层为对称轴，有135753125(个)小正方形，得f(4)25；第五步所对应的图形中有9层，以第5层为对称轴，个)小正方形，得f(5)41.(2)f(1)1，f(2)5，f(3)13，f(4)25，f(5)41，f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，f(n)f(n1)4(n1)4n4.f(n1)与f(n)的关系式为f(n1)f