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文档简介

微积分学(一),一元微积分学,函数展开为幂级数,授课教师 孙学峰,高校理科通识教育平台数学课程,一、幂级数的解析运算,三、函数展开为幂级数,四、函数展开为幂级数应用举例,函数展开为幂级数,二、泰勒级数,1,幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的,在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性.,一、幂级数的解析性质,幂级数的解析性质,2,幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性,在幂级数的收敛区间内, 其和函数连续,故幂级数的和函数在收敛区间内可积, 当然,幂级数也在其收敛区间内可积.,逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有,相同的收敛半径, 但端点处的敛散性可能改变.,幂级数的解析性质,3,幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性,逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有,相同的收敛半径, 但要注意：由于常数的导数,为零, 故有些幂级数在求导后要改变下标的起,始值 .,解,符合积分要求了,等比级数,解,解,由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性, 得,在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项,积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级,数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连,续进行逐项求导和逐项积分.,就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具,有任意阶的导数及任意次的可积性.,幂级数的性质多好啊 ！,怎么做？,二、泰勒级数,任意一个函数能否在某一个区间内表示为,某一个幂级数的形式呢 ? 即是否有,定理,由定理的条件可知,且其和函数,于是有,由数学归纳法, 得,定理和定义给我们提供了什么信息 ?,定义,定理和定义告诉我们：,处有任意阶导数, 则它,就有一个相应的泰勒级数存在.,但此泰勒级数不一定收敛,即算收敛, 其和函数也不一定等于,问 题,回忆泰勒中值定理的构建过程,定理,证,余下的工作由学生自己完成.,推 论,证,（提示）,马克劳林级数,就可写出它的泰勒级数.,但它的泰勒级数不一,定收敛,只有当拉格朗日余项,时, 泰勒级数才收敛于,即使收敛,其和函数,三、函数展开为幂级数,该方法是先求出函数,写出它的泰勒级数,然后, 判断泰勒公式中的,数的收敛区间.,直接展开法,解,解,间接展开法,解,解,等比级数的和,解,求下列函数的麦克劳林级数,求下列函数的泰勒级数,学习要求 了解幂级数在收敛区间内的解析性质,会求简单幂级数的和函数,会利用幂级数求数项级数的和; 知道函数展开为泰勒级数的充分必要条
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