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文档简介

2.7 函数的连续性(1),一、函数的连续性,二、函数的间断点,三、 小结,一、函数的连续性,1.函数的增量,设函数 在 内有定义，,称为自变量在点 的增量.,称为函数 相应于 的增量.,2.连续的定义,那末就称函数 在 点连续,设函数 在 内有定义，若,从而，我们有连续的等价定义:,（1） 在 有定义；,（2） 存在；,（3）,定义给出了连续性的判断方法：看极限值是否等于函数值.,由定义2知,证,因为,又,函数 在 处连续.,3.左、右连续,若 在 内有定义且,则称 在 左连续.,若 在 内有定义且,定理,此定理常用来判断分段函数在分界点的连续性.,在 连续,则称 在 右连续.,在 处既左连续又右连续.,即：,例2,解,处连续.,要使,例3. 讨论函数在 x = 0 处的连续性, y = | x | 在点 x = 0 处连续.,x,y,y = | x |,O,证明：,sgn x|x=0=sgn 0 = 0,故符号函数 y = sgnx 在点 x = 0 处不连续.,证明：,证明：,连续,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,如果函数在开区间 内连续,在右端点 处左连续，,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,二、函数的间断点,. 定义,（或间断）；,称 在点 处不连续,而称点 为函数的不连续点(或间断点).,可能的间断点：没有意义的点，分段函数的分界点,则称点 为可去间断点.,1）跳跃间断点,例4,间断点的分类,如果 在点 处左、右极限都存在，但是不相等,则称点 为函数的,跳跃间断点.,解,2）可去间断点,如果 在点 的极限存在，但,解,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,其特点:,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如果 在点 处的左、右极限至少有一个不存在，,3）第二类间断点,例6,解,这种情况称为无穷间断点.,例7,解,二类间断点.,这种情况称为振荡间断点.,例8 求函数,的间断点，并判断,其类型,解 显然,是,的间断点。,又,所以,是第二类间断点。,注: 间断点的求法, 间断点类型的判别,如何找间断点？,（1）初等函数：求定义域,各子区间的边界点,（2）分段函数：讨论分段函数的分界点,(1) (x)在x0 是否处有定义？,逐步研究：,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在
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