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文档简介

1,函数单调性的判别法,单调区间求法,第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性,曲线凹凸性的判别法,曲线的拐点及其求法,第三章 微分中值定理与导数的应用,2,定理1,单调增加;,单调减少.,一、单调性的判别法,3,证,拉氏定理,(1),(2),此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.,4,例,解,定义域为,5,方法,问题,如上例, 函数在定义区间上不是单调的,定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数,的符号.,的分界点,二、单调区间求法,但在各个部分区间上单调,则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间,6,例,解,定义域,单调区间为,7,例,解,单调区间为,定义域,8,区间内有限个点处导数为零,如,不影响区间的单调性.,单调增加.,9,例,证,10,例,证,定不出符号,11,12,?,(concave and convex),三、曲线凹凸性的判别法,1.定义,如何研究曲线的弯曲方向,13,定义1,恒有,凹,(凸),图形上任意弧段 位于所张弦的下方,图形上任意弧段 位于所张弦的上方,14,凹弧的曲线段,的切线斜率是单增的,是单增的,凸弧的切线斜率是单减的,是单减的.,而,利用二阶导数判断曲线的凹凸性,从几何直观上,随着x的增大,15,定理2,二阶导数,凹,(凸),2. 凹凸性的判别法,16,例,解,凸,变,凹,的分界点.,17,1.定义,连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的,拐点.,几何上,四、曲线的拐点及其求法,(inflection point),拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,18,拐点的第一充分条件,2. 拐点的求法,拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.,拐点的必要条件,具有二阶导数,则点,(1),(2),是拐点的必要条件为,(或x0为二阶导数不存在的点),19,例,解,拐点,拐点,不存在
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