利用Mathematica求函数极值.ppt

实验六 利用Mathematica求函数极值 实验目的：综合利用求导，解方程及确定极值的相关知识求一元及多元函数极值。 预备知识：,(一)极值概念及确定极值的必要条件、充分条件 (二)最值与极值的关系，最值的确定 (三)Mathematica中求函数极值相关命令,边学边做：,(一)用命令FindMinimum求极小值： FindMinimumfx,x,x0 FindMinimumfx,y,x,x0,y,y0 （1）先作图，观察之后求函数 在 -3，3内的极值 （2）作图之后求函数 的极值 (二）用求驻点的方法求函数极值 (1)求函数 的极值 (2)求函数 的最值,（三）Solve，Which，Print，Plot综合应用求极值 （1）求函数 的极值、拐点，描绘该函数图像 （2）设函数 在 两点处都取得极值，试确定 的值，并问这时 在 处是取得极大值还是极小值？,学生实验： 一、基础部分 1求函数 在5，20上的极值 2求函数 的单调区间。 3. 求函数 的极值点与极值.,二、应用部分,(1)当a为何值时, 在 处有极值,求此极值,并说明是极大值还是极小值. (2)若函数 在x=-1处有极大值为8,在x=2处有极小值为-19,求a,b,c,d. (3)把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁,问矩形截面高h与宽b如何选择时,才能使梁的抗弯截面系数 达到最大? (4)求表面积为a2且体积最大的长方体体积.,实验六内容详解：,一、利用命令FindMinimum求极小值 1、命令格式 一元函数：FindMinimumfx,x,x0 功能：以 为初始条件，求函数 的极小值。 多元函数：FindMinimumfx,y,x,x0,y,y0 功能：以 ， 为初始条件，求函数 的极小值。,2、边学边做 （1）求函数 在-3，3内的极值 解 自定义函数 fx_:=x4-2*x2; 作函数图像 Plotfx,x,-3,3,AxesLabel-x,y 因而可确定函数在-3，3内有两个极小值，相应选择初始值求得函数在不同区间内的极小值。 FindMinimumfx,x,-2 输出结果为-1，x-1 FindMinimumfx,x,0.5输出结果为1，x-1 本题还有一极大值，Mathematics中没有提供求函数极大值的命令，因而需作转化 FindMinimum-fx,x,-0.5 输出结果为0，x-0,（2）求函数 的极值 解 作函数图形（作法见第二节） FindMinimumx2+y2-x*y-3x-2y+3,x,0.5,y,0.5 输出结果为-3.33333,x-2.66667,y-2.33333,二、用求驻点的方法求函数极值 边学边做 (1)求函数 的极值 解 自定义函数fx_:=4*(x+1)/(x2+1); Df=fx;Df2x_:=fx; 解方程求驻点 NSolveDf=0,x 输出结果为x1=-2.41421，x2=0.414214 用二阶导数判别极值 f-2.41421=0.2426430，函数有极小值 f-2.41421 输出结果-0.828427 f0.414214=-8.242630，函数有极大值 f0.414214 输出结果4.82843 可作图验证,(2)求函数 的最值 解 自定义函数 fx_,y_:=x3-y3+3*x2+3*y2-9*x; 求驻点SolveDfx,y,x=0,Dfx,y,y=0 输出结果为x-3,y-0,x-3,y-2,x-1,y-0,x-1,y-2 比较各点函数值 fx,y/.% 输出结果为 27，31， -5，-1 可求得最值为31,三Solve，Which，Print，Plot综合应用求极值 边学边做 1求函数 的极值、拐点，描绘该函数图像 解 自定义函数 fx_:=x3-3*x2-9*x+5; 画图可观察函数的主要性态Plotfx,x,-5,5 解方程求驻点并赋值 m=Solvefx=0,x; 找驻点结果为x-1,x-3 取得m中的数值 x1=x/.m1;x2=x/.m2; 计算二阶导数值以判别能否取得极值p1=fx1;p2=fx2; 判别并输出结果 Whichp1=0,Print失效，p10，Print“f-1”极小值，p10，Print“f-1”极大值,找二阶导数为零的点并赋值 n= Solvefx=0,x; x-1 取得n中的数值y1=x/.n1 计算x=1近旁两点二阶导数值以判别能否成为拐点 q=fy1-0.1*fy1+0.1; 判别并输出结果 Whichq0，Print无拐点，p0，Print“(“1”,”f1”)”,拐点 注：（1）Which命令 格式：Which条件1，表达式1，条件2，表达式2，条件n，表达式n 执行方式