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文档简介

有限单元法初步,有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。,有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。,离散化：,单元分析：,整体分析：,求应力：,1 杆系结构的有限单元法,1.1 泛函与变分,“最速落径问题”-质量为m的小环从A处自由滑下， 试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）,所需时间,称T为y（x）的泛函， y（x）为自变函数。,即以函数作自变量以积 分形式定义的函数为泛函。,1.1 泛函与变分,变分运算在形式上与微分运算相同。,称 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。,微分与变分运算次序可以交换。,积分与变分运算次序也可以交换。,1.2 变形体虚位移原理,外力虚功,内力虚功,虚功方程,1.3 势能原理,1.应变能,弯曲应变能,拉压应变能,剪切应变能,2.外力势能,外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功.,3.结构势能,对于线弹性杆件体系,4.势能原理,对于线弹性杆件体系,对于线弹性杆件体系,虚功方程为:,或,即,在弹性结构的一切可能位移中，真实位移 使结构势能取驻值。,1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析,单元杆端力,一、建立位移模式 -用杆端位移表示杆中位移,单元杆端位移,设杆中任一点位移,a、b称为广义坐标,令 -自然坐标,-形函数矩阵,2.,中包含刚体位移,杆中任一点应变,一、建立位移模式 -用杆端位移表示杆中位移,-应变矩阵,二、应变分析 -用杆端位移表示杆中应变,三、应力分析 -用杆端位移表示杆中内力,杆中任一点应力,杆中任一截面的轴力,四、单元分析 -用杆端位移表示杆端力,单元应变能,单元外力势能,1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析,四、单元分析 -用杆端位移表示杆端力,单元的总势能,单元是平衡的,上式记作,其中,-局部坐标系下的单元刚度矩阵,-单元等效结点荷载,1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析,单元分析的步骤:,1.以单元结点位移表示单元内位移,的性函数矩阵,2.由应变分析得到应变矩阵,3.由势能驻值
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