浙江专用高考数学复习第九章平面解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系讲义含解析.docx

9.4直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.会解决直线与圆的位置关系的问题.2.会判断圆与圆的位置关系.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型以选择、填空题为主，要求相对较低.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.dr相离.(2)代数法：2.圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()(3)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.()题组二教材改编2.P128T4若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A.3，1B.1，3C.3，1D.(，31，)答案C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.3.P130练习圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离答案B解析两圆圆心分别为(2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d2，点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x30，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y5k(x3)，即kxy53k0.又圆心为(1，2)，半径r2，而圆心到切线的距离d2，即|32k|2，k，故所求切线方程为5x12y450或x30.题型一直线与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例1在ABC中，若asinAbsinBcsinC0，则圆C：x2y21与直线l：axbyc0的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定答案A解析因为asinAbsinBcsinC0，所以由正弦定理得a2b2c20.故圆心C(0，0)到直线l：axbyc0的距离d1r，故圆C：x2y21与直线l：axbyc0相切，故选A.命题点2弦长问题例2若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为()A.B.1C.D.答案D解析因为圆心(0，0)到直线axbyc0的距离d，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于，所以弦长为.命题点3切线问题例3已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程.(1)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2y40垂直；(3)过切点A(4，1).解(1)设切线方程为xyb0，则，b12，切线方程为xy120.(2)设切线方程为2xym0，则，m5，切线方程为2xy50.(3)kAC，过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法几何法：利用d与r的关系.代数法：联立方程之后利用判断.点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.跟踪训练1(1)(2018浙江名校联盟联考)已知直线l：yaxb(a0)，圆C：x2y22x0，且a2b212ab，则直线l与圆C的位置关系是()A.相离B.不确定C.相切D.相交答案D解析联立直线l的方程与圆的方程可得(a21)x2(2ab2)xb20，48ab4b2.12aba2b2，4a20.故直线l与圆C相交.(2)(2018浙江省台州市适应性考试)在直线l：ykx1截圆C：x2y22x30所得的弦中，最短弦的长度为_.答案2解析直线l是直线系，过定点(0，1)，定点(0，1)在圆C内，要使直线l：ykx1截圆C：(x1)2y24所得的弦最短，必须使圆心(1，0)和定点(0，1)的连线与弦所在直线垂直，此时定点和圆心的连线，圆心和弦的一个端点的连线与弦的一半围成一个直角三角形，因为圆心与定点之间的距离为，半径为2，所以最短弦的长度为22.(3)过点P(2，4)引圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为_.答案x2或4x3y40解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即d1，解得k，所求切线方程为xy420，即4x3y40.综上，切线方程为x2或4x3y40.题型二圆与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例4分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交和相切.解将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k，则圆C1的圆心为C1(2，3)，半径r11；圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2，k50.从而|C1C2|5.当|1|51，即46，即14k34时，两圆相交.当15，即k34时，两圆外切；当|1|5，即k14时，两圆内切.所以当k14或k34时，两圆相切.命题点2公共弦问题例5已知圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.(1)证明由题意将圆C1和圆C2一般方程化为标准方程，得(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)216，则圆C1的圆心C1(1，3)，半径r1，圆C2的圆心C2(5，6)，半径r24，两圆圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|d0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案B解析圆M：x2(ya)2a2(a0)，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线xy0的距离d，由几何知识得2()2a2，解得a2.M(0，2)，r12.又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|11，两圆外离，故选A.4.(2018金华模拟)过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A.yB.yC.yD.y答案B解析圆(x1)2y21的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y.5.(2019台州调研)若点A(1，0)和点B(4，0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案C解析如图，分别以A，B为圆心，1，2为半径作圆. 由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).6.直线x2ym0(m0)与O：x2y25交于A，B两点，若|2|，则m的取值范围是()A.(，2) B.(2，5) C.(，5) D.(2，)答案B解析直线x2ym0与O：x2y25交于相异两点A，B，O点到直线x2ym0的距离d2|，2d2|，即d|2，解得d2.又d，2d，即20，解得m(2，5).7.(2018浙江省杭州市七校联考)过F(1，0)作直线l与圆(x4)2y24交于A，B两点，若|AB|2，则圆心到直线l的距离为_，直线l的方程为_.答案1y(x1)解析易知直线l的斜率存在，故可设直线l：yk(x1)，得圆心(4，0)到直线l的距离d，又由圆的弦、半径、弦心距三者间的关系得d1，得1，即k，故直线l的方程为y(x1).8.(2018宁波模拟)已知直线l：mxy1.若直线l与直线xmy10平行，则m的值为_；动直线l被圆x22xy2240截得的弦长的最小值为_.答案12解析由直线mxy1与直线xmy10平行得m210，且，解得m1.圆x22xy2240化为标准方程为(x1)2y225，直线mxy1过定点(0，1)，因为点(0，1)在圆(x1)2y225内，则当直线l垂直于点(0，1)与圆心(1，0)连线所在的直线时，直线被圆截得的弦长最短，此时圆心到直线mxy1的距离即为点(0，1)与圆心(1，0)连线的长度，即为，则直线被圆截得的弦长的最小值为22.9.已知圆E：x2y22x0，若A为直线l：xym0上的点，过点A可作两条直线与圆E分别切于点B，C，且ABC为等边三角形，则实数m的取值范围是_.答案21，21解析设圆E的圆心为E，半径为r，圆E：x2y22x0，即(x1)2y21，则圆心E(1，0)，半径r为1，由题意知直线l上存在点A，使得sin30，即|AE|2r.又因为|AE|d(d为圆心到直线l的距离)，故要使点A存在，只需d2r2，可得2，解得m21，21.10.已知圆C1：x2y22aya240和圆C2：x2y22bx1b20外切，若aR，bR且ab0，则的最小值为_.答案解析x2y22aya240，即x2(ya)24，x2y22bx1b20，即(xb)2y21.依题意可得213，即a2b29，故1.所以，当且仅当ab时取等号.11.已知圆C：x2y22x4y10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1，3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件|PM|PO|的点P的轨迹方程.解把圆C的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为C(1，2)，半径r2.(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x1，C到l的距离d2r，满足条件.当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y3k(x1)，即kxy3k0，则2，解得k.l的方程为y3(x1)，即3x4y150.综上，满足条件的切线l的方程为x1或3x4y150.(2)设P(x，y)，则|PM|2|PC|2|MC|2(x1)2(y2)24，|PO|2x2y2，|PM|PO|，(x1)2(y2)24x2y2，整理，得2x4y10，点P的轨迹方程为2x4y10.12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|OA|，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.解(1)圆M的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心M(6，7)，半径r5，由题意，设圆N的方程为(x6)2(yb)2b2(b0).且b5.解得b1，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可设l的方程为y2xm，即2xym0.又|BC|OA|2.由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d2.即2，解得m5或m15.直线l的方程为y2x5或y2x15.(3)由，则四边形AQPT为平行四边形，又P，Q为圆M上的两点，|PQ|2r10.|TA|PQ|10，即10，解得22t22.故所求t的取值范围为22，22.13.已知直线l：(m2)x(m1)y44m0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2y22x4y30的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是()A.m1或m2B.2m8C.2m10D.m2或m8答案C解析如图，设切点分别为A，B.连接AC，BC，MC，由AMBMACMBC90及|MA|MB|知，四边形MACB为正方形，故|MC|2，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心(1，2)到直线l的距离d2，即m28m200，2m10，故选C.14.若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是_.答案4解析O1与O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，O1AOA.又|OA|，|O1A|2，|OO1|5.又A，B关于OO1所在直线对称，AB长为RtOAO1斜边上的高的2倍，|AB|24.15.已知圆O：x