2020版高考数学复习第七单元专题探究5球与几何体的切接问题练习文（含解析）新人教A版.docx

专题探究5球与几何体的切接问题 1.球的表面积与它的内接正方体的表面积的比值是()A.3B.4C.2D.2.三棱长分别为1,3,2的长方体的8个顶点都在球O的表面上,则球O的体积为()A.823B.32C.733D.433.2018广东五校联考 一块硬质木料的三视图如图Z5-1所示,正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形,将该木料切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径最接近()A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm图Z5-1图Z5-24.2018济宁模拟 如图Z5-2,圆柱内有一内切球(圆柱各面与球均相切),若内切球的体积为43,则圆柱的侧面积为()A.B.2C.4D.85.三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为3的正三角形,SC是球O的直径,且SC=4,则此三棱锥的体积V=.6.2018张家口期末 体积为8的正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个体积为V的球,则V的最大值为()A.8B.4C.823D.437.在三棱锥P-ABC中,AB=AC=1,ABAC,PA平面ABC,且直线PA与平面PBC所成角的正切值为12,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()A.4B.8C.16D.328.已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上,ABC所在截面圆的圆心O在AB上,SO平面ABC,AC=3,BC=1,若三棱锥的体积是33,则球的表面积是()A.254B.2512C.12548D.259.点A,B,C,D在同一个球面上,AB=BC=2,AC=2,若球的表面积为254,则四面体ABCD体积的最大值为()A.14B.12C.23D.210.2018梅河口第五中学模拟 若球O的半径为4,且球心O到平面的距离为3,则平面截球O所得截面圆的面积为()A.B.10C.13D.5211.2018聊城一模 如图Z5-3是某几何体的三视图,其中俯视图为等边三角形,正视图为等腰直角三角形,若该几何体的各个顶点都在同一个球面上,则这个球的体积与该几何体的体积的比值为()图Z5-3A.73B.289C.1479D.4312.若一个球的表面积为100,现用两个平行平面,去截这个球,两个截面圆的半径分别为r1=3,r2=4,则两截面间的距离为.13.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在同一个球面上,且该正三棱柱的体积为32,底面三角形ABC的周长为3,则这个球的体积为.14.2018衡水武邑中学月考 一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,向容器内注入水,并放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切.问:将球从圆锥形容器内取出后,圆锥形容器内水面的高是多少?15.2018成都树德中学月考 如图Z5-4所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切,且分别与正方体相切.(1)求两球半径之和;(2)两球的半径分别为多少时,两球体积之和最小?图Z5-416.三棱锥D-ABC中,AB=CD=6,其余四条棱长均为2,则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为()A.14B.7C.21D.2817.如图Z5-5,在四边形ABCD中,AB=BC=2,ABC=90,DA=DC=6.现将ACD沿对角线AC折起,使得平面DAC平面ABC,如图,此时点A,B,C,D在同一个球面上,则该球的体积是()图Z5-5A.92B.823C.272D.12专题集训(五)1.C解析 设正方体的棱长为a,则球的半径为32a,所以球的表面积S1=434a2=3a2,而正方体的表面积S2=6a2,所以所求比值为S1S2=2.2.A解析 三棱长分别为1,3,2的长方体的8个顶点都在球O的表面上,所以球的直径等于长方体的体对角线长,即2R=12+(3)2+22=22,得R=2,所以球O的体积V=43R3=43(2)3=823.3.A解析 由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径r,则10-r+10-r=102,所以r=10-523.故选A.4.C解析 设球的半径为r,则43r3=43,解得r=1,所以圆柱的底面半径为1,高为2,所以圆柱的侧面积为212=4,故选C.5.332解析 设球的半径为R,因为ABC是边长为3的正三角形,所以ABC外接圆的半径r=3,所以球心O到平面ABC的距离d=R2-r2=1.又SC为球O的直径,所以点S到平面ABC的距离为2d=2,所以此三棱锥的体积V=13SABC2d=1334322=332.6.D解析 要使球的体积V最大,则球为正方体的内切球.正方体的体积为8,正方体的棱长为2,内切球的半径为1,故其体积为4313=43,故选D.7.A解析 如图,取BC的中点D,连接AD,PD,AB=AC,ADBC,又PA平面ABC,PABC,BC平面PAD.过A作AHPD于H,易知AH平面PBC,APD是直线PA与平面PBC所成的角,tanAPD=ADAP=12.AD=12BC=22,PA=2.AB,AC,AP两两垂直,以AB,AC,AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球,三棱锥P-ABC的外接球的半径为12+12+(2)22=1,三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4,故选A.8.A解析ABC所在截面圆的圆心O在AB上,SO平面ABC,AC=3,BC=1,三棱锥的体积是33,131231SO=33,SO=2.设球的半径为R,则R=1+(2-R)2,R=54,球的表面积是42516=254.9.C解析 根据题意知,ABC是一个直角三角形,其面积为1,其外接圆的圆心为斜边AC的中点.球的表面积为254,设球的半径为r,则有4r2=254,解得r=54.四面体ABCD的底面积SABC不变,高h最大时,体积最大,即D到底面ABC的距离最大时,四面体ABCD的体积最大,hmax=r+r2-12=2,四面体ABCD体积的最大值为1312=23.10.C解析球的半径R=4,截面圆的半径r=42-3=13,故截面圆的面积S=r2=13.故选C.11.C解析 由三视图知,该几何体为三棱锥,设其底面边长和高都为2,则三棱锥的体积为1334222=233.该三棱锥底面外接圆半径r=2sin32=233,故该几何体外接球的半径为r2+1=213,其体积为432133=282127.故所求比值为282127233=1479.故选C.12.1或7解析 设球的半径为R,则有100=4R2,则R=5.设球心到截面,的距离分别为d1,d2,如图所示,当球的球心在两个平行平面的外侧时,这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差,即d1-d2=25-9-25-16=4-3=1.如图所示,当球的球心在两个平行平面之间时,这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和,即d1+d2=25-9+25-16=4+3=7.故两截面间的距离为1或7.13.32327解析 设正三棱柱的高为h,由题可知SABC=34,V三棱柱ABC -A1B1C1=34h=32,解得h=2.正三棱柱外接球的球心在上、下底面中心连线的中点处,则外接球的半径R=12+(12-(12)223)2=43,所以外接球的体积为43R3=43433=32327.14.解:如图,作出轴截面,设球未取出时,水面高为PC,球取出后,水面高PH=x.易知AC=3r,PC=3r,则以AB为底面直径的圆锥的体积为V圆锥=13AC2PC=13(3r)23r=3r3,V球=43r3.球取出后,水面下降到EF,水的体积为V水=13EH2PH=13(PHtan30)2PH=19x3.又V水=V圆锥-V球,则19x3=3r3-43r3,解得x=315r.故所求水面的高是315r.15.解:(1)如图,球心O1和O2在AC上,过O1,O2分别作AD,BC的垂线,垂足分别为E,F.设球O1的半径为r,球O2的半径为R,则由AB=1,AC=3得AO1=3r,CO2=3R,r+R+3(r+R)=3,R+r=33+1=3-32.(2)设两球体积之和为V,则V=43(R3+r3)=43(r+R)(R2-Rr+r2)=433-32(R+r)2-3rR=433-323-322-3R3-32-R=433-323R2-3(3-3)2R+3-322,当R=3-34时,V有最小值,当R=r=3-34时,两球体积之和最小.16.B解析 如图,取AB,CD的中点分别为E,F,连接CE,ED,EF.由条件知,AB=CD=6,BC=AC=AD=BD=2,可知ABC与ADB都是等腰三角形,CEAB,DEAB,AB平面ECD,ABEF,又易知EC=ED,CDEF,EF是AB与CD的公垂线,球心G在EF上,连接GD,易得G为EF中点,DE=4-64=102,DF=62,EF=104-64=1,半径DG=14+64=72,外接球的表面积为4DG2=7.17.A解析 在题图中,取AC的中点E,连接DE,BE,如图所示,AD=CD,DEAC.平面ACD平面ABC=AC,平面